a) Trong (O) có AB là dây cung không đi qua O và I là trung điểm AB

\(\Rightarrow OI\bot AB\Rightarrow\angle MIO=90\Rightarrow\angle MIO+\angle MCO=90+90=180\)

\(\Rightarrow MIOC\) nội tiếp

b) Vì MC,MD là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta MCD\) cân tại M có MO là phân giác \(\angle CMD\) \(\Rightarrow MO\bot CD\) mà \(EF\parallel CD\) \(\Rightarrow EF\bot MO\)

tam giác MOE vuông tại O có đường cao OC \(\Rightarrow CM.CE=OC^2\)

tam giác MOC vuông tại C có đường cao HC \(\Rightarrow OH.OM=OC^2\)

\(\Rightarrow OH.OM=CM.CE\)

Vì H là trung điểm CD (\(\Delta MCD\) cân tại M) và \(EF\parallel CD\) 

\(\Rightarrow O\) là trung điểm EF

 \(\Rightarrow S_{MEF}=2S_{MOE}=2.\dfrac{1}{2}.OC.ME=OC.\left(CM+CE\right)\)

\(\ge R.\sqrt{CM.CE}=R.2\sqrt{OC^2}=R.2OC=2R^2\)

\(\Rightarrow S_{MEF_{min}}=2R^2\) khi \(CM=CE=R\left(CM.CE=R^2\right)\)

\(\Rightarrow OM=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R\)

Vậy M nằm trên d sao cho \(OM=\sqrt{2}R\) thì diện tích tam giác MEF nhỏ nhất \(\left(=2R^2\right)\)

a) Xét tứ giác MCOD có 

\(\widehat{MDO}\) và \(\widehat{MCO}\) là hai góc đối

\(\widehat{MDO}+\widehat{MCO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: MCOD là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

1. MCOD nội tiếp đường tròn (+2 góc đối nhau =180o)

=> đpcm

2. OAI = OBI (c.g.c)

=> ^AOI = ^BOI

=> OI là phân giác cx là trung tuyến

=> OI là đường cao

=> ^OIA = 90o

=> ^OIM = 90o

OIDM nội tiếp (OIM =ODM = 90o)

=> KOD = KMI

.................=> tg KMI ~ tg KOD

=> đpcm....

Im mồm 🤬🤬🤬

1.Ta có: \(\widehat{MDO}+\widehat{MCO}=180^0\)

=> Tứ giác MDOC nội tiếp đường tròn đường kính MO 

=> 4 điểm M,D,O,C cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)

2.Vì I là trung điểm của dây cung AB và OI đi qua AB => OI  \(\perp\)AB (đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thì vuông góc với dây ấy)

Xét \(\Delta MIK\)và \(\Delta ODK\)có

\(\widehat{MIK}=\widehat{ODK}=90^0\)

\(\widehat{DOK}=\widehat{IMK}\)(Cùng phụ với \(\widehat{MKO}\))

=> \(\Delta MIK~\Delta ODK\left(g-g\right)\)

=> \(\frac{KI}{KD}=\frac{KM}{KO}\Rightarrow KI.KO=KM.KD\left(đpcm\right)\)

3. Gọi giao điểm của CD và OM là H

Ta có DM và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M => OH là tia phân giác của \(\widehat{DOC}\)và MO là tia phân giác của \(\widehat{FME}\)(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Delta ODC\)cân tại O (OD=OC) có OH là tia phân giác => OH cũng là đường cao của \(\Delta ODC\)

=>OH   \(\perp\)DC hay OM   \(\perp\)DC

Ta có: EF//CD và OM    \(\perp\)CD => OM   \(\perp\)EF

Xét \(\Delta MOF\)và \(\Delta MOE\)có

\(\widehat{MOF}=\widehat{MOE}=90^0\)

MO là cạnh chung

\(\widehat{FMO}=\widehat{EMO}\)

=> \(\Delta MOF=\Delta MOE\left(cgv-gnk\right)\)

Mà \(S_{MOF}+S_{MOE}=S_{MEF}\)

\(\Rightarrow S_{MOE}=\frac{1}{2}S_{MEF}\)

\(S_{MEF}=2S_{MOE}=OC.ME=R.ME=R\left(MC+CE\right)\)

Ta có: \(ME=MC+CE\ge2\sqrt{MC.CE}=2\sqrt{OC^2}=2R\)(BĐT Cô-si)

\(\Rightarrow S_{MEF}=R.\left(MC+CE\right)\ge R.2R=2R^2\)

Dấu "=" xảy ra khi MC=CE=R => \(OM=R\sqrt{2}\)

Vậy M là giao điểm của \(\left(O,R\sqrt{2}\right)\)và đường thẳng d thì S_MEF  đạt giá trị nhỏ nhất

a: Xét tứ giác CMON có \(\widehat{CMO}+\widehat{CNO}=90^0+90^0=180^0\)

nên CMON là tứ giác nội tiếp

=>C,M,O,N cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

\(\widehat{CMA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MC và dây cung MA

\(\widehat{ABM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

Do đó: \(\widehat{CMA}=\widehat{ABM}=\widehat{CBM}\)

Xét ΔCMA và ΔCBM có

\(\widehat{CMA}=\widehat{CBM}\)

\(\widehat{MCA}\) chung

Do đó: ΔCMA~ΔCBM

=>\(\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{CA}{CM}\)

=>\(CM^2=CA\cdot CB\)

c: Xét (O) có

CM,CN là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CN

=>C nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1),(2) suy ra OC là đường trung trực của MN

=>OC\(\perp\)MN tại H

Xét ΔCMO vuông tại M có MH là đường cao

nên \(CH\cdot CO=CM^2\)

=>\(CH\cdot CO=CA\cdot CB\)

=>\(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CA}{CO}\)

Xét ΔCHA và ΔCBO có

\(\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CA}{CO}\)

\(\widehat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCBO

=>\(\widehat{CHA}=\widehat{CBO}\)

mà \(\widehat{CBO}=\widehat{OAB}\)(ΔOAB cân tại O)

nên \(\widehat{CHA}=\widehat{OAB}\)

a: góc CMO+góc CNO=180 độ

=>CMON nội tiếp

b: Xét ΔCMA và ΔCBM có

góc CMA=góc CBM

góc MCA chung

=>ΔCMA đồng dạng với ΔCBM

=>CM^2=CA*CB

Ta có

\(AB=AC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A (1)

AO là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm của đường tròn là phân iacs của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH\perp BC\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AHE}=90^o\) (*)

Ta có

\(OM=ON\) (Bán kính (O)) \(\Rightarrow\Delta OMN\) cân tại O

Ta có \(IM=IN\) (Giả thiết) => ON là đường trung tuyến của tg OMN

\(\Rightarrow OE\perp AN\) (Trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao, đường trung trực...)

\(\Rightarrow\widehat{AIE}=90^o\) (**)

Từ (*) và (**) => I và H cùng nhìn AE dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ => I và H nằm trên đường tròn đường kính AE nên 4 điểm A;H;I;E cùng nằm trên 1 đường tròn

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ một đường thẳng đi qua $A$ và không đi qua $O$, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ ($M$ nằm giữa $A$ và $N$). Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với $(O)$ ($B$, $C$ là hai tiếp điểm). Đường thẳng $BC$ cắt $AO$ tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Đường thẳng $OI$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$. Chứng minh $AHIE$ là tứ giác nội tiếp.

 theo gt, ta co: 

$I$ là trung điểm của $MN\; va\; MN\; la\; day\; cung\; cua\; (O)$

$=>\; OE\; vuong\; goc\; voi\; MN\; tai\; I$

$hay\; goc\; AIE=\; 90\; (1)$

$Mat\; khac,\; ta\; lai\; co\; A\; nam\; ngoai\; (O);$

$AC\; va\; AB\; lan\; luot\; la\; cac\; tiep\; tuyen\; cua\; (O)$

=> AO vuong goc voi BC

hay goc AHE = 90 (2)

tu (1) va (2) => tu giac AHIE noi tiep (vi co 2 goc ke bang nhau)