Dùng hình bạn Ngọc nhé (khỏe khỏi phải vẽ :)

Xét \(\Delta BOC\)và \(\Delta NBC\)có

\(\widehat{OCB}\)chung

\(\widehat{BOC}=\widehat{NBC}=90\)

\(\Rightarrow\Delta BOC\)đồng dạng \(\Delta NBC\)

\(\Rightarrow\frac{BC}{NC}=\frac{OC}{BC}\Leftrightarrow BC^2=NC.OC\)

\(\Leftrightarrow BC^2=NC.\frac{2}{3}NC=\frac{2NC^2}{3}\)(Vì O là trọng tâm)

\(\Rightarrow NC=\sqrt{\frac{3}{2}}BC=\frac{\sqrt{3}.20132014}{\sqrt{2}}\)

chịu@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ai mà bít ??

a) Xét \(\Delta ABC\)có : \(AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\)cân

Có BM và CN là đường trung tuyến của tam giác \(\Rightarrow AM=AN=BN=CN\)

Xét \(\Delta AMB\)và \(\Delta ANC\)có : \(\hept{\begin{cases}AM=AN\left(cmt\right)\\\widehat{mAn}:chung\\AB=AC\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AMB=\Delta ANC\left(c\cdot g\cdot c\right)}\)

b) Vì 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G => G là trọng tâm của \(\DeltaÂBC\)

=> AG là đường trung tuyến còn lại

mà \(\Delta ABC\)cân => AG vừa là đường trung tuyến và vừa là đường cao

\(\Rightarrow AG\perp BC\)hay \(AH\perp BC\)

Vì AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến => \(BH=CH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.12=6\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý PYTAGO trong tam giác vuông \(AHC\)( do \(AH\perp BC\)) có :

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=AC^2-HC^2=10^2-6^2=100-36=64\)

\(\Rightarrow AH=8\left(cm\right)\)

Theo tính chất 3 đường trung tuyến => \(\frac{AG}{AH}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{AG}{8}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow AG=\frac{8.2}{3}=\frac{16}{3}\left(cm\right)\)

Hình các bạn tự vẽ nhé !

a)VÌ \(\Delta ABC\)cân tại \(A\)có \(BM;CN\)là đường trung tuyến

\(\Rightarrow AN=BN=AM=CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow\Delta ANM\)cân ( vì AN=AM )

Vì \(\Delta ANM;\Delta ABC\)cùng cân mà có \(\widehat{A}\)chung nên \(\widehat{ANM}=\widehat{AMN}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(đpcm)

Vì \(\widehat{AMN};\widehat{ACB}\)là hai góc đồng vị mà \(\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\)(chứng minh trên) nên MN song song với BC  (đpcm)

b) Vì G là giao điểm của BM và CN mà BM và CN là 2 đường trung tuyến nên G là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow AG\)là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)từ đỉnh A xuống cạnh BC

VÌ trong tam giác cân , đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy đồng thời là đường trung trực ứng với cạnh đáy

nên \(AG⊥BC\)

Theo (a) \(BC\)song song với \(MN\)mà \(AG⊥BC\)nên \(AG⊥MN\)(đpcm)