Gọi I là tr5ung điểm của MC,CO và EI cắt nhau tại A'. Suy ra A' là trọng tâm của tam giác EMC

Ta có: \(CA'=\frac{2}{3}CO\)Mà \(CA=\frac{2}{3}CO\)

\(\Rightarrow A'\equiv A\)nên AE đi qua I

Tam giác OBN có: 

OA = OB ( gt ) và OM = MN ( gt )

\(\Rightarrow AM//BN\)

Ta giác AMC có: 

AB = BC ( gt )  và CI = IM ( gt )

\(\Rightarrow AM//BI\)

Áp dụng tiên đề Ơclit ta có \(BN\equiv BI\)

Suy ra 3 đường thẳng AE, BN, CM đồng quy. 

Vậy 3 đường thẳng AE, BN, CM đồng quy. ( đpcm )

BN là nét đứt nhé.

Gọi I là giao điểm của AE và CM.

ΔECM có CO là đường trung tuyến (vì O là trung điểm EM)

mà A ∈ CO, CA = 2/3 CO

=> A là trọng tâm của ΔECM

=> EI là đường trung tuyến của ΔECM

=> I là trung điểm của CM.

Xét ΔOBN có A là trung điểm OB, M là trung điểm ON

=> AM là đường trung bình của ΔOBN => AM // BN (1)

Xét ΔCAM có B là trung điểm AC, I là trung điểm CM

=> BI là đường trung bình của ΔCAM => BI // AM (2)

Từ (1)(2) => BI \(\equiv\) BN => I ∈ BN

Mà I là giao điểm CM và AE

=> BN, CM, AE đồng quy (đpcm)

a/

\(d_1;d_2\) là tiếp tuyến với đường tròn tại A và B \(\Rightarrow d_1\perp AB;d_2\perp AB\) => \(d_1\)//\(d_2\)

Xét tg vuông ABK có

\(\widehat{ACB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow AK^2=KC.KB\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

b/ 

Ta có 

DA=DC (2 tiếp tuyến của 1 đường tròn cùng xuất phát từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau) (1)

EC=EB (lý do như trên) => tg EBC cân tại E\(\Rightarrow\widehat{ECB}=\widehat{KBE}\) (2 góc ở đáy của tg cân) (*)

\(\widehat{KBE}=\widehat{AKB}\) (góc so le trong) (**)

\(\widehat{KCD}=\widehat{ECB}\) (Góc đối đỉnh) (***)

Từ (*) (**) và (***) \(\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{KCD}\) => tg DCK cân tại D => DC=DK (2)

Từ (1) và (2) => DA=DK nên K là trung điểm của AK

c/ Gọi I là giao của CH với BD

Ta có 

\(CH\perp AB;d_1\perp AB\) => CH//\(d_1\)

\(\Rightarrow\frac{IC}{DK}=\frac{BC}{BK}=\frac{BH}{BA}=\frac{IH}{DA}\) (Talet trong tam giác)

Mà DK=DA => IC=IH => BD đi qua trung điểm I của CH

d/

@Nguyễn Vũ Mỹ An

Thực chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròng xuất phát từ "số đo góc nội tiếp = 1/2 số đo cung bị chắn". ^ACB chắn cung AB mà số đo cung AB = 90 độ