a) Vì ABCD là hình bình hành nên

AB=CD=2a, AD=BC=a

ta có: M,N là trung điểm của AB và CD

=> DN=1/2CD=a

=> AD=DN

Vậy tam giác ADN cân tại D(đpcm)

=> DAN=DNA

b) Ta có: AB//CD => AND=MAN(So le trong)

=> DAN=MAN

=>AN là tia phân giác của góc BAD

c)  Chứng minh tương tự câu B ta được:

AMCN là hình bình hành (vì AM//CN, AM=CN)

=>AN//CM=> PN//MQ

Ta có: BMND là hình bình hành (chứng minh b)

=>DM//BN => MP//NQ

=> MPNQ là hình bình hành(1)

Ta có: AM//DN,AM=DN=a

=> AMND là hình bình hành

mặt khác AD=AN(chứng minh a)

=>AMND là hình thoi

=> AN vuông góc với DM(tính chất 2 đường chéo của hình thoi)

=> MPN= 90 độ (2)

Từ (1) và (2) suy ra PMQN là hình chữ nhật ( dấu hiệu: hbh có 1 góc vuông là hcn)

toi ko bt

https://drive.google.com/file/d/1F7_WT5J17JGrHKXFz0mns6lWgsUhJcNq/view

a) Do AB = 2a, AD = A nên AB = 2AD.

Lại có ABCD là hình bình hành nên AB = CD. Vậy thì \(DN=\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}=AD\)

Xét tam giác ADN có DA = DN nên ADN là tam giác cân tại D.

Do tam giác ADN cân tại D nên \(\widehat{DAN}=\widehat{DNA}\) 

Do AB//DC nên \(\widehat{BAN}=\widehat{DNA}\) (Hai góc so le trong)

Vậy nên \(\widehat{DAN}=\widehat{BAN}\) hay AN là phân giác góc \(\widehat{BAD}\)

b) Ta có \(MB=\frac{1}{2}AB;DN=\frac{1}{2}DC\Rightarrow\) MB song song và bằng ND.

Xét tứ giác MDNB có MB song song và bằng ND hay MDNB là hình bình hành.

Vậy thì MD // NB

c) Tương tự câu b, ta chứng minh được AMCN là hình bình hành hay AN // MC

Xét tứ giác MPNQ có MP//QN và MQ//PN nên MPNQ là hình bình hành.

Xét tứ giác AMND có AM song song và bằng ND hay AMND là hình bình hành.

Lại có AD = AM nên AMND là hình thoi. Suy ra AN vuông góc DM hay \(\widehat{MPN}=90^o\) .

Xét hình bình hành MPNQ có \(\widehat{MPN}=90^o\) nên MPNQ là hình chữ nhật.

a: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

=>AMCN là hình bình hành

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

AM=AD

=>AMND là hình thoi

b: AMND là hình thoi

=>I là trung điểm chung của AN và MD và AN vuông góc MD tại N

Xét tứ giác MBCN có

MB//CN

MB=CN

MB=BC

=>MBCN là hình thoi

=>MC vuông góc BN tại K và K là trung điểm chung của MC và BN

Xét ΔMDC có

MN là trung tuyến

MN=DC/2

=>ΔMDC vuông tại M

Xét tứ giác MINK có

góc MIN=góc MKN=góc IMK=90 độ

=>MINK là hình chữ nhật

c: Xét ΔMDC có MI/MD=MK/MC

nên IK//DC

cccccccccccccccccccccccccccccccuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuutttttttttttttttttttttttttttttttttttt

File: undefined chắc các bạn cũng thấy câu a) và b) ạ. Mình làm thử có thiếu sót mong bổ xung ạ.

C) gọi giao điểm của AN và CD là O 

Xét ∆ABN và ∆OCN, ta có:

NC=NB( giả thiết)

NOC = NAB ( góc so le trong)

CNO = BNA ( đối đỉnh )

=> ∆ ABN = ∆OCN ( g-c-g)

=> CO=CA ( cặp cạnh tương ứng bằng nhau)

Mà tứ giác ABCD là hình vuông 

=> AB=CD=CO hoặc CD =CO

Vì ∆APM là tam giác vuông tại P 

=> Gốc DPN =90°

Xét ∆ vuông DPO, ta có ( vì gốc DPN =90° cmt)

Ta có CD=CO ( cmt)

DPO =90°

Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 

=> DC=PC=CO

=> ∆ DPC cân tại C ( vì CP= CD) ( đpcm)