a)\(A=1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^{2004}+2^{2005}+2^{2006}\)

\(A=\left(1+2+2^2\right)+\left(2^3+2^4+2^5\right)+...+\left(2^{2004}+2^{2005}+2^{2006}\right)\)

\(A=7+2^3\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2004}\left(1+2+2^2\right)\)

\(A=7+2^3.7+...+2^{2004}.7\)

\(A=7\left(1+2^3+...+2^{2004}\right)\) chia hết cho 7

b)\(2^{2006}=2^{2004}.2^2=\left(2^6\right)^{334}.4=64^{334}.4\)

Mặt khác: \(64\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow64^{334}\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow64^{334}.4\equiv4\left(mod7\right)\)

=>2²⁰⁰⁶ chia 7 dư 4

Trl :

Bạn kia làm đúng rồi nhé !

Học tốt nhé bạn @

a: \(A=1+2+2^2+...+2^{41}\)

=>\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{42}\)

=>\(2A-A=2^{42}-1\)

=>\(A=2^{42}-1\)

b: \(A=\left(1+2\right)+2^2\left(1+2\right)+...+2^{40}\left(1+2\right)\)

\(=3\left(1+2^2+...+2^{40}\right)⋮3\)

\(A=\left(1+2+2^2\right)+2^3\left(1+2+2^2\right)+...+2^{39}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=7\left(1+2^3+...+2^{39}\right)⋮7\)

\(A=4+2^2+2^3+...+2^{2006}\)

\(\mathsf{Đặt}:B=2^2+2^3+...+2^{2006}\\2B=2^3+2^4+...+2^{2007}\\2B-B=(2^3+2^4+...+2^{2007})-(2^2+2^3+...+2^{2006})\\B=2^{2007}-2^2\\B=2^{2007}-4\)

Thay \(B=2^{2007}-4\) vào A, ta được:

\(A=4+(2^{2007}-4)\\\Rightarrow A=2^{2007}\)

$\Rightarrow A$ là 1 luỹ thừa của cơ số 2.

Vậy: ...

Bài 2.để 2 số hạn đầu tiên lại,còn lại 99 số ta chia làm 33 nhóm mỗi  nhóm có 3 số liên tiếp nhau.

Ta có \(=2+2^2+2^3+2^4+.....2^{100}\)

\(=2+2\left(1+2+2^2\right)+2^5\left(1+2+2^2\right)+....+2^{98}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=2+2.7+2^5.7+.....+2^{98}.7\)

\(\Rightarrow\)Tổng này chia 7 dư 2

bài 1

 abcabc=abc.1001

có 1001chia hết cho 7 

=>abc.1001 chia hết cho 7

còn chia hết cho 11 và 13 thì tương tự

bài 2

A=(2¹⁰⁰+2^99+298)+...+(2⁴+2³+2²⁾+2¹

A=(2⁹⁸.2²+2⁹⁸.2¹+298.1)+....+(2².2²+2².2¹+2².1)+2¹

A=2⁹⁸.(2²+2¹+1)+...+2².(2^2₊2¹+1)+2¹

A=2⁹⁸.7+...+2².7+2¹

A=(2⁹⁸+2²).7 +2¹

có 7 chia hết co 7

=>(2⁹⁸+2²).7 chia hết cho 7

=>Achia 7 dư 2¹