Không mất tính tổng quát, giả sử a \(\ge\)b 

\(\Rightarrow\) a = b + m ( m \(\ge\)0 )

Ta có :  \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)

\(=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)

Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Dấu " = " chỉ xảy ra \(\Leftrightarrow\) m = 0 \(\Leftrightarrow\)a = b 

Ta có: \(\frac{a}{b}>0\Rightarrow\) a và b cùng dấu \(\Rightarrow\frac{b}{a}>0\)

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\Leftrightarrow a^2=b^2\Leftrightarrow a=b\)

Ta có :

n² + n + 1 = n . ( n + 1 ) + 1

Vì n . ( n + 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên ⋮2 ⇒n . (  n + 1 ) + 1 là một số lẻ nên không chia hết cho 4

Vì n . ( n + 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9. Do đó n . ( n + 1 ) + 1 không có tận cùng là 0

hoặc 5 . Vì vậy, n² + n + 1 không chia hết cho 5

P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình

a)  a²+b²-2ab=(a-b)²>=0

b) \(\frac{a^2+b^2}{2}\)\(\ge\)ab <=>  \(\frac{a^2+b^2}{2}\)-ab\(\ge\)0 <=> \(\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\)\(\ge\)0 (ĐPCM)

c) a²+2a < (a+1)²=a²+2a+1 (ĐPCM)

Đề bài đâu bn?

Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\)

\(1+b^2\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)

Do đó: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\);  \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\)

Mặt khác ta có: \(3\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\le1\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Do đó; \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\ge3\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

\(\dfrac{x^2+y^2}{a^2+b^2}=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{a^2+b^2}=\dfrac{x^2b^2+a^2y^2}{a^2b^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)a^2b^2=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2b^2+a^2y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2x^2+a^2b^2y^2=a^2x^2b^2+a^4y^2+b^4x^2+a^2y^2b^2\)

\(\Leftrightarrow0=a^4y^2+b^4x^2\)

Có \(\left\{{}\begin{matrix}a^4y^2\ge0\\b^4x^2\ge0\end{matrix}\right.\) =>\(a^4y^2+b^4x^2\ge0\)

 [=] xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^4y^2=0\\b^4x^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) (vì a;b khác 0)

Vậy y=x=0 (đpcm)

1) \(VT=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{2b}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a+2\sqrt{ab}-b+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{4\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=VP\)(ĐPCM)

2) \(VT=\text{[}\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\sqrt{ab}\text{]}.\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\)

\(=\frac{\left(a+b-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\)\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\left(a-b\right)^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}=1=VP\)(ĐPCM)

4) \(VT=\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)\(=\left(1+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)=1-a=VP\)(ĐPCM)

\(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{8}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}\ge\frac{a^2+2ab+b^2}{8}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}-\frac{a^2+2ab+b^2}{8}\ge\)

\(\Leftrightarrow\frac{4a^2-4ab+4b^2-a^2-2ab-b^2}{8}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3a^2-6ab+3b^2}{8}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(a-b\right)^2}{8}\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)

Thêm điều kiện là a,b cùng dấu nha! mình đánh thiếu