* Xét tứ giác ABCD, ta có:

MA = MC (gt)

MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ AD // BC và AD = BC (1)

* Xét tứ giác ACBE, ta có:

AN = NB (gt)

NC = NE (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE // BC và AE = BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE

Nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

xét tam giác ADE có:

AB=DB( gt)

AC=EC (gt)

=> BC//DE ( t/c đường trung bình)

ta có: BC//DE (CMT)

AM vuông góc với BC

AM=IM

=> góc AID= góc AIE

Xét tam giác AEI và tam giác ADIcó:

góc DAI= góc EAI

AI chung 

góc AID= góc AIE (CMT)

=> tam giác  AEI = tam giác ADI (g.c.g)

=> DI=EI(2 cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AEBC có 

N là trung điểm của đường chéo AB

N là trung điểm của đường chéo CE

Do đó: AEBC là hình bình hành

Suy ra: AE//BC và AE=BC(1)

Xét tứ giác ADCB có 

M là trung điểm của đường chéo AC

M là trung điểm của đường chéo BD

Do đó: ADCB là hình bình hành

Suy ra: AD//BC và AD=BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra E,A,D thẳng hàng và AE=AD

hay E và D đối xứng nhau qua A

Xét tứ giác ABCD có 

AM=CM; BM=DM => ABCD là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AD//=BC

Xét ứ giác ACBE có

AN=BN; CN=EN => ACBE  là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AE//=BC

=> AD=AE =BC

=> AE trùng AD hay A; D; E thẳng hàng (Qua 1 điểm ngoài đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)

=> D đối xứng với E qua A

a: Xét tứ giác ABCD có 

M là trung điểm của AC

M là trung điểm của BD

Do đó: ABCD là hình bình hành

a. Vì tam giác ABC có trung tuyến BM (gt)

-> M là trung điểm AC

Vì D đối xứng với B qua M (gt)

-> M là trung điểm BD

xét tứ giác ABCD có : - M là trung điểm AC (cmt)

                                    - M là trung điểm BD (cmt)

=> tứ giác ABCD là hình bình hành

b)  Vì tam giác ABC có trung tuyến CN(gt)

-> N là trung điểm AB

Vì E đối xứng với C qua N (gt)

-> N là trung điểm EC

xét tứ giác AEBC có : - N là trung điểm AB (cmt)

                                    - N là trung điểm EC (cmt)

-> tứ giác AEBC là hình bình hành

=> AE // BC ( tính chất )

c)Vì tứ giác ABCD là hình bình hành ( cmt )

-> AD = BC (tính chất) (1)

Vì tứ giác AEBC là hình bình hành ( cmt )

-> AE = BC (2)

từ (1) và (2) => AE = AD 

=> A là trung điểm ED 

=> E đối xứng vói D qua A

a, Vì N là trung điểm BD và AC nên ABCD là hbh

Vì M là trung điểm CE và AB nên AEBC là hbh

b, Vì ABCD và AEBC là hbh nên \(\left\{{}\begin{matrix}AE//BC;AE=BC\\AD//BC;AD=BC\end{matrix}\right.\Rightarrow AE\equiv AD;AE=AD\)

Vậy E đx D qua A

* Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

Suy ra: G là trọng tâm của ∆ ABC .

⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến)

Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M

⇒ MG = MD hay GD = 2GM

Suy ra: GB = GD (l)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N

⇒ NG = NE hay GE = 2GN

Suy ra: GC = GE (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét  ∆ BCM và  ∆ CBN, có: BC cạnh chung

∠ (BCM) =  ∠ (CBN) (tính chất tam giác cân)

CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra:  ∆ BCM = ∆ CBN (c.g.c)

⇒  ∠ (MBC) =  ∠ (NCB) ⇒  ∆ GBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE

Hình bình hành BCDE có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.