Áp đụng bất đẳng thức vào

\(\left(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}\right)\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2+3+4}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2+3+4}+\frac{2\left(xz+yz+xy\right)}{2+3+4}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(xz+yz+xy\right)=0\\\frac{x^2}{2}=\frac{y^2}{3}=\frac{z^2}{4}\end{cases}\Rightarrow x=y=z=0}\)\(\Rightarrow D=0\)

Ta có

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{2+3+4}=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{9}\right)+\left(\frac{y^2}{3}-\frac{y^2}{9}\right)+\left(\frac{z^2}{4}-\frac{z^2}{9}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{7x^2}{18}+\frac{2y^2}{9}+\frac{5z^2}{36}=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)

\(\Rightarrow D=0\)

có nick violympic v11 k?

TA có : 

\(\text{x.(x-y) + y(y-x) = x.(x-y) -y.(x-y) = (x-y).(x-y) =}\left(x-y\right)^2\)

Tại x = 53 và y = 3 thì ta có : 

\(\left(x-y\right)^2=\left(53-3\right)^2=50^2=2500\)

Ta có:y(y-x)=-y(-y+x)

=>x(x-y)-y(-y+x)=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)\(^2\)

thay x=53,y=3 vào biểu thức ta được:

(53-3)\(^2\)=50\(^2\)=2500

Xét hiệu của hai phân thức sau:

\(\left(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\right)-\left(\frac{y^2}{x+y}+\frac{z^2}{y+z}+\frac{x^2}{z+x}\right)=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}-\frac{y^2}{x+y}-\frac{z^2}{y+z}-\frac{x^2}{z+x}\)

\(=\left(\frac{x^2}{x+y}-\frac{y^2}{x+y}\right)+\left(\frac{y^2}{y+z}-\frac{z^2}{y+z}\right)+\left(\frac{z^2}{z+x}-\frac{x^2}{z+x}\right)=x-y+y-z+z-x=0\)

Vì hiệu của chúng bằng  \(0\)  nên số bị trừ sẽ bằng số trừ, tức là:

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}=\frac{y^2}{x+y}+\frac{z^2}{y+z}+\frac{x^2}{z+x}\)

Mà  \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}=2015\)  (theo giả thiết)

Vậy,  \(\frac{y^2}{x+y}+\frac{z^2}{y+z}+\frac{x^2}{z+x}=2015\)

Vì hiệu của chúng bằng 0 nên số bị trừ sẽ bằng số trừ ,tức là:

x^2/x+y+y^2/y+z+z^2/z+x=y^2/x+y+z^2/y+z+x^2/z+x

Mà x^2/x+y+y^2/y+z+z^2/z+x=2015(giả thiết)

Vậy y^2/x+y+z^2/y+z+x^2/z+x=2015

i don't know