a) \(p\)là số nguyên tố lớn hơn \(3\)nên \(p\)là số lẻ. 

\(p=2k+1\)suy ra \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)=2k\left(2k+2\right)=4k\left(k+1\right)⋮8\)

(vì \(k\left(k+1\right)\)là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho \(2\))

\(p\)là số nguyên tố lớn hơn \(3\)nên \(p=3k\pm1\).

Khi đó \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)sẽ chia hết cho \(3\).

Mà \(\left(8,3\right)=1\)nên \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)chia hết cho \(8.3=24\).

b) Đặt \(\left(2n+1,3n+1\right)=d\).

Suy ra 

\(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow3\left(2n+1\right)-2\left(3n+1\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\).

Do đó ta có đpcm. 

Đặt A = n^6 + n^4 – 2n^2 = n^2 (n^4 + n^2 – 2) 
= n^2 (n^4 – 1 + n^2 – 1) 
= n^2 [(n^2 – 1)(n^2 + 1) + n^2 – 1] 
= n^2 (n^2 – 1)(n^2 + 2) 
= n.n.(n – 1)(n + 1)(n^2 + 2) 
+ Nếu n chẳn ta có n = 2k (k thuộc N) 
A = 4k^2 (2k – 1)(2k + 1)(4k^2 + 2) = 8k^2 (2k – 1)(2k + 1)(2k^2 + 1) 
Suy ra A chia hết cho 8 
+ Nếu n lẻ ta có n = 2k + 1 (k thuộc N) 
A = (2k + 1)^2 . 2k (2k + 2)(4k^2 + 4k + 1 + 2) 
= 4k(k + 1)(2k + 1)^2 (4k^2 + 4k + 3) 
k(k + 1) chia hết cho 2 vì là tích hai số liên tiếp 
Suy ra A chia hết cho 8 
Do đó A chia hết cho 8 với mọi n thuộc N 
* Nếu n chia hết cho 3 thì A chia hết cho 9. Nên A chia hết cho 72. 
* Nếu n không chia hết cho 3 thì n^2 là số chính phương nên chia 3 dư 1 (vì số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1). 
Suy ra n^2 + 2 chia hết cho 3. Mà n (n – 1)(n + 1) là tích 3 số liên tiếp nên có số chia hết cho 3. Suy ra A chia hết cho 9. Do đó A chia hết cho 72. 
Vậy A chia hết cho 72 với mọi n thuộc N.

Chép hả Lý

1.

$4-n\vdots n+1$

$\Rightarrow 5-(n+1)\vdots n+1$

$\Rightarrow 5\vdots n+1$
$\Rightarrow n+1\in \left\{1; 5\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{0; 4\right\}$

2.

Nếu $n$ chẵn $\Rightarrow n+6$ chẵn.

$\Rightarrow (n+3)(n+6)$ chẵn $\Rightarrow (n+3)(n+6)\vdots 2$

Nếu $n$ lẻ $\Rightarrow n+3$ chẵn.

$\Rightarrow (n+3)(n+6)$ chẵn $\Rightarrow (n+3)(n+6)\vdots 2$

3.

Giả sử $a,a+b$ không phải 2 số nguyên tố cùng nhau. Khi đó, đặt $d=ƯCLN(a,a+b)$. Điều kiện: $d\geq 2$.

$\Rightarrow a\vdots d; a+b\vdots d$
$\Rightarrow (a+b)-a\vdots d$

$\Rightarrow b\vdots d$

Vậy $a\vdots d; b\vdots d\Rightarrow d=ƯC(a,b)$. Mà $d\geq 2$ nên $a,b$ không phải 2 số nguyên tố cùng nhau (trái với đề bài) 

Vậy điều giả sử là sai. Tức là $a,a+b$ là 2 số nguyên tố cùng nhau.

câu 2: ta có 8p(8p+1)(8p+2) chia hết cho 3

=>16p(8p+1)(4p+1) chia het cho 3

mà 16 không chia hết cho 3,p và 8p+1 là snt >3 nên không chia hết cho 3
=>4p+1 chia hết cho 3

Chỉnh lại đề đi bạn

ok trưởng team

Gọi d là ƯCLN của n+1 và n+2

=> \hept{n+1⋮dn+2⋮d\hept{n+1⋮dn+2⋮d=> \hept{n+1⋮dn+1+1⋮d\hept{n+1⋮dn+1+1⋮d=>1⋮d1⋮d

=> ƯCLN (n+1,n+2) = 1

=> n+1 và n+2 là 2 số nguyên tố cùng nhau

vì n là số nguyên tố ,n>3 nên n có dạng: 3k+1 hoặc 3k+2

với n=3k+1 thì

\(\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\)\(\left(3k +1-1\right)\left(3k+1+1\right)=\)\(3k\left(3k+2\right)⋮3\)(1)

với n=3k+2 thì

\(\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\)\(\left(3k+2+1\right)\left(3k+2-1\right)=\)\(\left(3k+3\right)\left(3k+1\right)=\)\(3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)⋮3\)(2)

vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n là số lẻ nên n có dạng 2m+1

n=2m+1 thì

\(\left(n+1\right)\left(n-1\right)=\left(2m+1+1\right)\left(2m+1-1\right)\)\(=\left(2m+2\right)2m=2.2m\left(m+1\right)\)\(4m\left(m+1\right)⋮8\)(vì m(m+1) là hai sô tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 2 nhân 4 nữa là chia hết cho 8)      (3)

mà (8,3)=1

từ (1),(2),(3) được đpcm

vì n>3 nên n có dạng n=3k+1 hoặc n=3k+2
với n=3k+1 thì (n+1)(n-1)=(3k+2)3k chia hết cho 3
với n=3k+2 thì (n+1)(n-1)=(3k+3)(3k+1) chia hết cho 3
vậy với mọi số nguyên tố n>3 thì (n+1)(n-1) chia hết cho 3 (1)
mặt khác vì n>3 nên n là số lẻ =>n+1; n-1 là 2 số chẵn liên tiếp
=>trong hai số n+1; n-1 tồn tại một số là bội của 4
=> (n+1)(n-1) chia hết cho 8 (2)
từ (1) và (2) => (n+1)(n-1) chia hết cho 24 với mọi số nguyên tố n>3