a) Áp dụng đinh lý Bê-du, ta có f(x) chia x + 1 dư \(f\left(-1\right)\); bạn tự thay x = - 1 và tính kết quả đó chính là số dư.

b) Dùng phương pháp gán giá trị riêng :

Đặt \(f\left(x\right)=\left(x^2-1\right).Q\left(x\right)+R\left(x\right)\)

Do đa thức chia có bậc không quá 2 nên đa thức dư có bậc không quá 1, nên đặt \(R\left(x\right)=ax+b\)

Thay vào và có :

\(x^{100}-x^{50}+2.x^{25}-4=\left(x^2-1\right)Q\left(x\right)+ax+b\)

Lần lượt gán cho x giá trị 1 và -1

\(f\left(1\right)=1-1+2.1-4=0.Q\left(x\right)+a.1+b\)

\(\Rightarrow a+b=-2\)

\(f\left(-1\right)=1-1+2.\left(-1\right)-4=0.Q\left(x\right)+a.\left(-1\right)+b\)

\(\Rightarrow b-a=-6\)

\(\Rightarrow b=\frac{\left(-2\right)+\left(-6\right)}{2}=-\frac{8}{2}=-4\)

\(a=\left(-4\right)-\left(-6\right)=2\)

Do đó dư là \(2x-4\)

Vậy ...

Giả sử : f( x) = ( x² - 1).g(x) + ax + b

*) Áp dụng định lý Bezout , ta có :

f( 1) = a + b

(=) 1¹⁰⁰ - 1⁵⁰ + 2.1²⁵ - 4 = a + b

(=) a + b = -2 (*)

*) Áp dụng định lý Bezout , ta có :

f( -1) = -a + b

(=) ( -1)¹⁰⁰ - ( -1)⁵⁰ + 2.(-1)²⁵ - 4

(=) -a + b = -6 (**)

Từ ( *,**) 2b =-8 -> b = -4 -> a = 2

Vậy số dư là : 2x - 4

Để tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho (x^2 + 1)(x - 2), chúng ta cần sử dụng định lý dư của đa thức. Theo định lý dư của đa thức, nếu chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) và được dư đa thức r(x), thì ta có: f(x) = q(x) * g(x) + r(x) Trong trường hợp này, chúng ta biết rằng f(x) chia cho x - 2 dư 7 và chia cho x^2 + 1 dư 3x + 5. Vì vậy, chúng ta có các phương trình sau: f(x) = q(x) * (x - 2) + 7 f(x) = p(x) * (x^2 + 1) + (3x + 5) Để tìm dư của phép chia f(x) cho (x^2 + 1)(x - 2), ta cần tìm giá trị của r(x). Để làm điều này, chúng ta cần giải hệ phương trình trên. Đầu tiên, chúng ta sẽ giải phương trình f(x) = q(x) * (x - 2) + 7 để tìm giá trị của q(x). Sau đó, chúng ta sẽ thay giá trị của q(x) vào phương trình f(x) = p(x) * (x^2 + 1) + (3x + 5) để tìm giá trị của p(x) và r(x). Nhưng trước tiên, chúng ta cần biết đa thức f(x) là gì. Bạn có thể cung cấp thông tin về đa thức f(x) không?

Ta có đa thức  x 2 + 3 x + 2 5 + x 2 - 4 x - 4 5 - 1 chưa (x + 1) nên phần dư là một hằng số

Gọi thương là Q(x) và dư r. Khi đó với mọi x ta có

x 2 + 3 x + 2 5 + x 2 - 4 x - 4 5 - 1   = Q(x)(x + 1) + r           (1)

Thay x = -1 vào (1) ta được

( ( - 1 ) 2   +   3 . ( - 1 )   +   2 ) 5   +   ( ( - 1 ) 2   –   4 ( - 1 )   –   4 ) 5 – 1 = Q(x).(-1 + 1) + r

r = 0 5   +   1 5 – 1 ó r = 0

vậy phần dư của phép chia là r = 0. 

đáp án cần chọn là: C

HD

Ghép tạo thừa số (x+1) 

làm đi không làm dduocj mình mới làm chi tiết

thay x=-1. ra số dư, áp dụng định lý bê du

\(x-1\in\left\{1;6;2;3;-1;-6;-2;-3\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{2;7;3;4;0;-5;-1;-2\right\}\)

\(10⋮2x+1\)

\(\Rightarrow2x+1\in\left\{1;2;5;10;-1;-2;-5;-10\right\}\)

\(\Rightarrow2x\in\left\{0;1;4;9;-2;-6;-11\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{0;\frac{1}{2};2;\frac{9}{2};-1;-3;-\frac{11}{2}\right\}\)

\(x+13⋮x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)+12⋮x+1\)

Do \(x+1⋮x+1\) nên \(12⋮x+1\)

\(\Rightarrow x+1\in\left\{1;12;6;2;4;3;-1;-12;-6;-2;-4;-3\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;11;5;1;3;2;-2;-13;-7;-3;-5;-4\right\}\)