Trước tiên cần chứng minh với mọi m,n,p thuộc R và x,y,z>0 ta có

m^2/x +n^2/y +p^2/z >=(a+b+c)^2/x+y+z  (1)

 Dấu "=" xảy ra <=>m/x=n/y=p/z

Thật vậy m,n thuộc R,x,y>0 ta có 

m^2/x+n^2/y >=(m+n)^2/x+y  (2)

<=> (m^2y +n^2x)(x+y) >= xy(m+n)^2

sau đó khai triển ra ta được (nx-my)^2 >=0 (đúng)

Dấu "="xảy ra <=>m/x=n/y

Áp dụng BĐT (2) ta có

m^2/x +n^2/y +p^2/z >=(m+n)^2/x+y +p^2/z >= (m+n+p)^2/x+y+z

Dấu "=" xảy ra <=> m/x=n/y=p/z

Áp dụng BĐT (1) ta có

Q=a^2/a+b b^2/b+c c^2/c+a >= (a+b+c)^2/2(a+b+c)=3 (do a+b+c=6)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=2

Ta co:a-b=15

=>2(a-b)=30 hay 2a-2b=30

Co:\(\frac{1}{2}a=\frac{2}{3}b=\frac{3}{4}c\)

\(hay\frac{2a}{4}=\frac{2b}{3}=\frac{3c}{4}\)va 2a-2b=30

Ap dung tinh chat cua day ti so bang nhau ta co:

\(\frac{2a}{4}=\frac{2b}{3}=\frac{3c}{4}=\frac{2a-2b}{4-3}=\frac{30}{1}=30\)

Con lai la tu ban nhe

ko hieu hoi mik

mik san sang giup

Lời giải:

Đặt $\frac{b}{a}=x; \frac{c}{a}=y$ $(x,y>0$)

$x^2+y^2=\frac{b^2+c^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1$ (do tam giác $ABC$ vuông tại $A$)

Như vậy, bài toán đã cho trở thành:

Cho $x,y$ là 2 số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2=1$. Tìm min $M=\frac{8}{x^2}+\frac{8}{y^2}+x+y+2016$

--------------------------

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{1}{4\sqrt{2}x^2}+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4\sqrt{2}.2.2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)

\(\frac{1}{4\sqrt{2}y^2}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4\sqrt{2}.2.2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)

\((8-\frac{1}{4\sqrt{2}})(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})\geq (8-\frac{1}{4\sqrt{2}}).\frac{4}{x^2+y^2}=4(8-\frac{1}{4\sqrt{2}})\)

Cộng theo vế thu được:

\(M-2016\geq \frac{3}{2\sqrt{2}}+\frac{3}{2\sqrt{2}}+4(8-\frac{1}{4\sqrt{2}})=32+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow M\geq 2048+\sqrt{2}\)

Vậy $M_{\min}=2048+\sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $ABC$ là tam giác vuông cân.

a.

\(A=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{1}{2ab}\)

\(\ge\frac{4}{a^2+2ab+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=6\)

Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

b.

\(B=\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2}=3\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{1}{2ab}\)

\(\ge3\cdot\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=14\)

Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

c.

Ta có:

\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) với mọi x,y

Áp dụng ta có:

\(C=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

2.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\left[\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{x}\cdot\frac{a}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}\cdot\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

Áp dụng nó ta chứng minh được:

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

Áp dụng vào bài làm:

\(D=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ca+bc+ab+ca+bc}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

a]  x= a/b+c=b/c+a=c/a+b=a+b+c/b+c+c+a+a+b=0

         => x=0

b] 

\(\frac{a}{2}\) = b

=> a=2b

ta có:  a - 2b +c = 210

  => a-a + c =210 => c= 210

=> b = 210 : 3 =70

=> a= 70 x 2 = 140

vậy a = 140

       b= 70

       c= 210

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{1}=\frac{c}{3}=\frac{a}{2}=\frac{2b}{2.1}=\frac{c}{3}=\frac{a-2b+c}{2-2+3}=\frac{210}{3}=70\)

\(\frac{a}{2}=70\Rightarrow a=70.2=140\)

\(\frac{b}{1}=70\Rightarrow b=70\)

\(\frac{c}{3}=70\Rightarrow c=70.3=210\)

Vậy a=140;b=70 và c=210

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Ngô Ngọc Anh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath