tên sai kìa,EKAWADA CONAN mà

Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)=\left(x,y,z\right)\)

Khi đó :
\(Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)

Ta có :

\(x+y=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}=\frac{a^2-ab+bc-c^2}{ac}=\frac{b\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{ca}\)

\(=\frac{b\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\left(-b\right)}{ac}=\frac{2b\left(c-a\right)}{ca}\) ( do \(a+b+c=0\))

\(\Rightarrow\frac{x+y}{z}=\frac{2b\left(c-a\right)}{ca}.\frac{b}{c-a}=\frac{2b^2}{ca}=\frac{2b^3}{abc}\)

Hoàn toàn tương tự 

\(\frac{y+z}{x}=\frac{2c^3}{abc};\frac{x+z}{y}=\frac{2a^3}{abc}\)

Do đó :

\(Q=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}=3+\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=3\)

\(=3+\frac{2\left[\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)^3+c^3\right]}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+6=9\)

Ta có đpcm

\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}\)

\(=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}\)

\(=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 1 )
Tương tự,ta có:

\(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{c^2-ba+ba-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 2 )
\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2-ac+cb-b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 3 )
Cộng vế theo vế của ( 1 );( 2 );( 3 ) suy ra đpcm 

*Đặt P = (a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b, ta có:
P = (a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b
=> abc.P = ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)
= ab(a-b) + bc(b-a + a-c) + ca(c-a) 
= ab(a-b) - bc(a-b) - bc(c-a) + ca(c-a) 
= b(a-b)(a-c) + c(c-a)(a-b) 
= (a-b)(a-c)(b-c) 
=> P = (a-b)(a-c)(b-c)/abc 
*Đặt Q = c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a), ta có:
Vì a+b+c = 0 => a+b = -c ; b+c = -a ; c+a = -b
Q = c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a) 
=> (a-b)(b-c)(c-a).Q = c(b-c)(c-a) + a(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c) 
= c(b-c)(c-a) + (-b-c)(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c) 
= c(b-c)(c-a) – c(a-b)(c-a) – b(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c) 
= c(c-a)(2b-a-c) + b(a-b)(a+b-2c) 
= 3bc(c-a) – 3bc(a-b) 
= 3bc(b+c-2a) 
= 3bc(-a-2a) 
= -9abc 
=> Q = -9abc/(a-b)(b-c)(c-a) = 9abc /(a-b)(b-c)(a-c) 
Vậy P.Q = 9 (đpcm)

a)

đúng rồi cái này phải chứng minh: hôm trước gặp câu lớp 6 lấy kết quả luôn mới ÁC.

\(\frac{a+c}{b+c}>\frac{a}{b}\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}>0\Leftrightarrow\frac{\left(a+c\right)b-a\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)b}>0\Leftrightarrow\frac{bc-ac}{\left(b+c\right)b}>0\Leftrightarrow\frac{c\left(b-a\right)}{\left(b+c\right)b}>0\) (*)

Theo đầu bài ta có: \(\left\{\begin{matrix}a,b,c>0\\\frac{a}{b}< 1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(b+c\right)b>0\\a< b\Rightarrow b-a>0\end{matrix}\right.\)=> (*) đúng mọi biến đổi là tương đương => dpcm

b) làm ở đâu đó rồi

lấy kết qủa câu (a) áp vào là ra

a) Vì \(\frac{a}{b}>1\Rightarrow a>b\Rightarrow a-b>0\)

Xét hiệu : \(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{a\left(b+c\right)-b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{ab+ac-ba-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{ac-bc}{b\left(b+c\right)}=\frac{c\left(a-b\right)}{b\left(b+c\right)}\)

Mà a-b>0 (cmt) suy ra :\(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}>0\Leftrightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}\left(đpcm\right)\)

b) Chứng minh tương tự

2/Cho b,d>0

Chứng minh \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)