Ta có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz\right)-3xy\left(x+y+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\right]=0\)(Nhân hai vế với 2)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)

Tới đây bạn xét hai trường hợp nhé :)

(x+y+z)((X+Y)^2-Z(X+Y))-3XY(X+Y+Z)

=(X+Y+Z)(X^2+2XY+Y^2-XZ-YZ-3XY)

=(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XZ-YZ-XY)

x^3+y^3+z^3-3xy(x+y+z)=0

x^3+y^3+z^3-3xy*xyz=0

3xyz-3xyz=0

chuc ban thanh cong

`#3107`

`a)`

`A=`\(3x^4 + \dfrac{1}3xyz - 3x^4 - \dfrac{4}3xyz + 2x^2y - 6z\)

`= (3x^4 - 3x^4) + (1/3xyz - 4/3xyz) + 2x^2y - 6z`

`= -xyz + 2x^2y - 6z`

Thay `x = 1; y = 3` và `z = 1/3` vào A

`A = -1*3*1/3 + 2*1^2*3 - 6*1/3`

`= -1 + 6 - 2`

`= 6 - 3`

`= 3`

Vậy, `A=3`

`b)`

`B=`\(4x^3 - \dfrac{2}7xyz - 4x^3 - \dfrac{4}3xyz + 4x^2y\)

`= (4x^3 - 4x^3) + (-2/7xyz - 4/3xyz) + 4x^2y`

`= -34/21 xyz + 4x^2y`

Thay `x = -1; y = 2` và `z = -1/2` vào B

`B = -34/21*(-1)*2*(-1/2) + 4*(-1)^2 * 2`

`= -34/21 + 8`

`= 134/21`

Vậy, `B = 134/21`

`c)`

`C=`\(4x^2 + \dfrac{1}2xyz - \dfrac{2}3xy^2z - 5x^2yz + \dfrac{3}4xyz\)

`= 4x^2 + (1/2xyz + 3/4xyz) - 2/3xy^2z - 5x^2yz `

`= 4x^2 + 5/4xyz - 2/3xy^2z - 5x^2yz`

Ta có:

`|y| = 2`

`=> y = +-2`

Thay `x = -1; y = 2` và `z = 1/2` vào C

`4*(-1)^2 + 5/4*(-1)*2*1/2 - 2/3*(-1)*2^2*1/2 - 5*(-1)^2*2*1/2`

`= 4 - 5/4 + 4/3 - 5`

`= -11/12`

Vậy, với `x = -1; y = 2; z = 1/2` thì `B = -11/12`

Thay `x = -1; y = -2; z = 1/2`

`B = 4*(-1)^2 + 5/4*(-1)*(-2)*1/2 - 2/3*(-1)*(-2)^2*1/2 - 5*(-1)^2*(-2)*1/2`

`= 4 + 5/4 + 4/3 + 5`

`= 139/12`

Vậy, với `x = -1; y = -2; z = 1/2` thì `B = 139/12.`

Ta có: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=\left(-z\right)^3\)

\(\Rightarrow x+y=-z\)\(\Rightarrow x+y+z=0\left(đpcm\right)\)( P/s cx ko chắc lắm :P )

That's very easy 

\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3+3x^2y+3y^2x\right)+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\left(1\right)\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\end{cases}}\)

Lại có : \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)

Nhân 2 lên , nhóm vào ta được các cặp số : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\left(2\right)\)( làm tắt ) 

Do \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\\\left(y-z\right)^2\ge0\forall y;z\\\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;z\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;y;z\left(3\right)\)

Từ ( 2 ) ; ( 3 ) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\x-z=0\end{cases}\Rightarrow x=y=z}\left(4\right)\)

Từ (1) ; (4) => đpcm

Bổ sung : \(\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;z\)

cục than

úi nhầm câu cho xin lỗi

\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)

\(=\left(x+y\right)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x-y\right)+z^3-3xyz\)

\(=\left[\left(x+y\right)^3+z^3\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)^3-3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-3xy\left(x-y-z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y+z\right)^2-3z\left(x+y\right)-3xy\right]\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz-3xz-3yz-3xy\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)\)

thui mik hieu roi cam on mn

1...Chia cả hai vế cho xyz ta được 
3xy/xyz + 3yz/xyz + 3zx/xyz = 4xyz/xyz 
<=>3/x + 3/y + 3/z = 4 
<=>1/x + 1/y + 1/z = 4/3 
Vì x,y,z bình đẳng nên giả sử 0<x<=y<=z 
+nếu x>=4=> y>=4;z>=4 
=> 1/x + 1/y + 1/z <= 1/4 + 1/4 + 1/4 =3/4 < 4/3 => pt vô nghiệm 
+nếu x=1 => 1+1/y+1/z=4/3 
<=> 1/y+1/z=1/3 
<=> 3(y+z)=yz 
<=> 3y+3z-yz=0 
<=> 3y-yz+3z-9=-9 
<=> y(3-z)-3(3-z)=-9 
<=> (3-z)(3-y)=9 
Vì y,z nguyên dương nên (3-y),(3-z) nguyên dương 
mà 9=3*3=1*9=9*1 
==>3-z=3 và 3-y=3 => z=0 và y=0 (loại vì y,z nguyên dương) 
+nếu x=2 => 1/2+1/y+1/z=4/3 
<=> 1/y+1/z=5/6 
<=> 6(y+z)=5yz 
<=> 6y+6z-5yz=0 
<=> 30y-25yz+30z-36=-36 
<=> 5y(6-5z)-6(6-5z)=-36 
<=> (5z-6)(5y-6)=36 
Vì y,z nguyên dương nên (5y-6),(5z-6) nguyên dương 
mà 36=6*6=2*18=18*2=3*12=12*3=4*9=9*4 
Giải tương tự phần trên ta được 
y=2,z=3 hoặc y=3,z=2 
+nếu x=3 => 1/3+1/y+1/z=4/3 
<=> 1/y+1/z=1 
Giải tương tự phần trên ta được y=z=2 
Vậy (x;y;z)=(2;2;3);(2;3;2);(3;2;2)

Đây là bài gần giống nhé