b) Giải:

Đặt \(A=n^3+3n^2-n-3\) ta có

\(A=n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)\)

Thay \(n=2k+1\left(k\in Z\right)\) ta được:

\(A=\left(2k+2\right)2k\left(2k+4\right)=\) \(2\left(k+1\right).2k.2\left(k+2\right)\)

\(=8\left(k+1\right)k\left(k+2\right)\)

Mà \(\left(k+1\right)k\left(k+2\right)\) là tích của \(3\) số tự nhiên nhiên tiếp nên chia hết cho \(6\) \(\Rightarrow A⋮8.6=48\)

Vậy \(n^3+3n^2-n-3\) \(⋮48\forall x\in Z;x\) lẻ (Đpcm)

\(A=4m^3+9m^2-19m-30=4m^3-4m+9m^2-3m-12m-30\)

\(=4m\left(m^2-1\right)+3m\left(3m-1\right)-12m-30\)

\(=4m\left(m-1\right)\left(m+1\right)+3m\left(3m-1\right)-6\left(2m+5\right)\)

Ta có:

A có các số hạng chia hết cho 6 nên A chia hết cho 6 với mọi m nguyên (ĐPCM).

Nếu m có dạng 3k thì m+3 chia hết cho 3, nếu m có dạng 3k-1 thì m-2 chia hết cho 3 

      \(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n^2-1\right)\)

Ta có số hạng đầu tiên là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hểt cho 5, số hạng thứ 2 chia hết cho 5

Vậy \(n^5-n⋮5\)

Gọi số dư của a và b khi chia cho m là n.

Ta có: a=m.k+ n

           b=m.h+n

=>a-b=m.k+n-(m.h+n)=m.k+n-m.h-n=(m.k-m.h)+(n-n)=m.(k-h) chia hết cho m

=>a-b chia hết cho m

=>ĐPCM