\(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+.....+\frac{1}{101}\)

\(=\frac{1}{2+3}+\frac{1}{3+4}+\frac{1}{4+5}+....+\frac{1}{50+51}\)

Anh quên mất đoạn sau rồi , nhưng hình như đến đây kl là được rồi đấy

Gọi dãy số trên là : N

Ta có N là 1 số nguyên thì N phải nằm giữa 2 số thự nhiên liên tiếp 

=> Ta cần chứng minh : \(0>N< 1\)

Ta có : N > 0 hiển nhiên

=> Điều cần chứng minh là : N < 1

Ta có công thức tổng quát :

 \(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+2}=\frac{n+2+n}{n\left(n+2\right)}=\frac{2+2n}{n\left(n+2\right)}=\frac{2\left(n+1\right)}{n\left(n+2\right)}\)

Giả  sử : \(\frac{2\left(n+1\right)}{n\left(n+2\right)}< \frac{n}{n}< 1\)đúng

Ta được : \(\frac{2\left(n+1\right)}{n\left(n+2\right)}< \frac{n\left(n+2\right)}{n\left(n+2\right)}\Rightarrow2\left(n+1\right)< n\left(n+2\right)\Rightarrow2n+1< n^2+2n\)

Do \(n^2>1\Rightarrow2n+1< 2n+n^2\)=> \(N< 1\)

Vậy ta kl : \(0>N< 1\)

=> N ko phải là số tn

Quy đồng A ta có:

A = \(\frac{7.9.11...101+5.9.11...101+...+5.7.9...99}{5.7.9...101}\)

Nhận xét:

Các tích 7.9.11...101;....;  5.7.9...97.101 đều chia hết cho 101 nhưng 5.7.9....99 không chia hết cho 101 nên A có  tử số không chia hết cho 101

Mà mẫu chia hết cho 101; 101 là số nguyên tố

=> Tử không chia hết cho mẫu

=> A là phân số  

@Trần Thị Loan: Vì sao \(5.7.9...99⋮̸11\)vậy bn?

A=1/5.7 + 1/7.9 + ..... + 1/99.101

A=1/5 - 1/7 + 1/7 - 1/9 + ..... + 1/99 - 1/101

A=1/5 - 1/101 = 1/116

=> A không phải là số tự nhiên

\(B=4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^3:\left(\frac{4}{5}\right)^0\cdot\frac{1}{2}-\frac{\frac{3}{5}-\frac{3}{9}+\frac{3}{13}}{\frac{7}{5}-\frac{7}{9}+\frac{7}{13}}\)

\(=4\cdot\frac{-1}{8}:1\cdot\frac{1}{2}-\frac{3\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{13}\right)}{7\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{13}\right)}\)

\(=-\frac{1}{4}-\frac{3}{7}=-\frac{19}{28}\)

Quy đồng phân số ta được \(A=\frac{7.9.11....101+5.9.11...101+...+5.7.9...99}{5.7.9....101}\)

Mà Tử số không chia hết cho 101 ( Vì các tích đầu đều chia hết cho 101 nhưng tích cuối cùng 5.7.9...99 không chia hết cho 101)

Mẫu số chia hết cho 101

=> Tử không chia hết cho Mẫu 

=> A không là số tự nhiên

xí

khó quá đi