Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Bảo Hân
Xem chi tiết
alibaba nguyễn
13 tháng 10 2016 lúc 11:21

Ta có \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)

Theo đề bài ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)

\(\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)

Nguyễn Văn Duy
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thanh Trúc
22 tháng 1 2017 lúc 6:10

Theo bất đẳng thức Cô-sy ta được:

\(a+b+c\ge3^3\sqrt{abc}\)(1)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3^3\sqrt{\frac{1}{abc}}\)(2)

Nhân (1) (2) vế heo vế ta được

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

Phan Thành Tiến
30 tháng 3 2018 lúc 19:12

biến đổi cách này dễ hiểu hơn nề:))

vì a+b+c=1 nên

\(\frac{1}{a}\)=\(\frac{a+b+c}{a}\)= 1+ \(\frac{b}{a}\)+\(\frac{c}{a}\)

\(\frac{1}{b}\)=\(\frac{a+b+c}{b}\)= 1+ \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{c}{b}\)

\(\frac{1}{c}\)=\(\frac{a+b+c}{c}\)= 1+ \(\frac{a}{c}\)+\(\frac{b}{c}\)

ta có \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)= 1+1+1+(\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{c}{a}\))+(\(\frac{b}{c}\)+\(\frac{c}{b}\))

ta lại có \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2\(\Leftrightarrow\)\(a^2\)+\(b^2\)\(\ge\)2ab \(\Leftrightarrow\)(a-b)^2\(\ge\)0      luôn đúng

tương tự ta có a/c+c/a >= 2 và b/c+c/b >= 2

vậy 1/a+1/b+1/c>=9

Xem chi tiết
Pham Van Hung
17 tháng 2 2019 lúc 23:13

\(\frac{1}{a}=\frac{a+b+c}{a}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\)

\(\frac{1}{b}=\frac{a+b+c}{b}=1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\)

\(\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{c}=1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)

Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge3+2+2+2=9\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

tth_new
18 tháng 2 2019 lúc 9:11

Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si) cho hai số dương,ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}=9^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Ut02_huong
Xem chi tiết
Phạm Thế Mạnh
17 tháng 12 2015 lúc 23:07

vì a+b+c =1 nên ta đi cm \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (BĐT Cô si)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) ( BĐT Cô si)
Nhân vế với vế -> đpcm

Nguyễn Nhật Minh
17 tháng 12 2015 lúc 23:11

\(\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)

Ut02_huong
17 tháng 12 2015 lúc 23:30

Có thể làm đơn giản hơn đc không #Mạnh ?? bọn tớ chưa học về BĐT Cô si T.T

 

Kiều Oanh
Xem chi tiết
Nguyễn Quốc Khánh
19 tháng 12 2015 lúc 22:28

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

Dấu = xảy ra <=>x=y=z=1/3

Giáp Ánh
2 tháng 11 2016 lúc 22:08

Nếu  là số có 1 chữ số thì biểu thức  có giá trị lớn nhất là 

Kiệt Nguyễn
Xem chi tiết
Phùng Minh Quân
15 tháng 4 2020 lúc 18:05

bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(ab+1\right)\left(bc+1\right)\left(ca+1\right)\ge\left(\frac{10}{3}\right)^3abc\) (*) 

đặt \(\left(\sqrt{ab};\sqrt{bc};\sqrt{ca}\right)=\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\)\(xyz\le\frac{1}{27}\)

(*) \(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\ge\left(\frac{10}{3}\right)^3xyz\)

\(VT\ge\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)\)

Có \(xy+1\ge10\sqrt[10]{\frac{xy}{9^9}}\)

Tương tự với \(yz+1\)\(;\)\(zx+1\)\(\Rightarrow\)\(VT\ge10^3\sqrt[10]{\frac{\left(xyz\right)^2}{9^{27}}}\)

Ta cần CM \(10^3\sqrt[10]{\frac{\left(xyz\right)^2}{9^{27}}}\ge\frac{10^3}{3^3}xyz\) đúng với \(xyz\le\frac{1}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa
Tran Le Khanh Linh
15 tháng 4 2020 lúc 18:13

Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)\)

Vì a+b+c=1 nên 

\(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)=abc+\frac{1}{abc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\)

Từ BĐt Cosi cho 3 số dương ta có:

\(\frac{1}{3}=\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\)

đặt x=abc thì \(0< x\le\frac{1}{27}\)

do đó: \(x+\frac{1}{x}-27-\frac{1}{27}=\frac{\left(27-x\right)\left(1-27x\right)}{27x}\ge0\)

=> \(x+\frac{1}{x}=abc+\frac{1}{abc}\ge27+\frac{1}{27}=\frac{730}{27}\)

Mặt khác: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

Nên  \(P\ge\frac{730}{27}+10=\frac{1000}{27}=\left(\frac{10}{3}\right)^3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c\(=\frac{1}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa
didudsui
Xem chi tiết
lê duy mạnh
6 tháng 10 2019 lúc 16:48

ta có a+bc=a(a+b+c)+ab=(a+b)(a+c)

tương tự b+ca=(b+c)(a+b)

c+ab=(a+c)(b+c)

ad bđt cô si cho 3 số dương ta có

a^3/(a+b)(a+c)+a+b/8+a+c/8 >=3a/4

tương tự bạn lm tiếp nhé

Phan Thảo Hiền
Xem chi tiết
Đào Xuân Anh
18 tháng 1 2017 lúc 20:21

qsaxdcvf

Nguyễn Huy Tú
12 tháng 6 2017 lúc 20:47

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-shwarz dạng Engel ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy...

fjghjkghtkjhtkjhjtkhkrtj...
12 tháng 6 2017 lúc 21:07

Ta có : (a + b + c ) . (\(\frac{1}{a}\)\(\frac{1}{b}\)\(\frac{1}{c}\))  = 1 + \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{b}{a}\)+ 1 + \(\frac{b}{c}\)\(\frac{c}{a}\)\(\frac{c}{b}\) +1

= 3 + (\(\frac{a}{b}\)\(\frac{b}{a}\)) + (\(\frac{a}{c}\)\(\frac{c}{a}\)) + ( \(\frac{b}{c}\)\(\frac{c}{b}\))

Do \(\frac{a}{b}\)\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2  ; \(\frac{a}{c}\)\(\frac{c}{a}\)\(\ge\)2 ; \(\frac{b}{c}\)\(\frac{c}{b}\)\(\ge\)2

\(\Rightarrow\)(a + b + c ).(\(\frac{1}{a}\)\(\frac{1}{b}\)\(\frac{1}{c}\))  \(\ge\)3 + 2 + 2 + 2

\(\Rightarrow\)(a + b + c ).(\(\frac{1}{a}\)\(\frac{1}{b}\)\(\frac{1}{c}\)\(\ge\)9

Mà a + b + c = 1

\(\Rightarrow\)(\(\frac{1}{a}\)\(\frac{1}{b}\)\(\frac{1}{c}\))\(\ge\)9

Võ Anh Duy
Xem chi tiết