Từ điều kiện ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3.\)

\(P=\frac{\frac{1}{a}}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{a}}+\frac{\frac{1}{b}}{1+\frac{c}{b}.\frac{a}{b}}+\frac{\frac{1}{c}}{1+\frac{a}{c}.\frac{b}{c}}\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\text{ }\frac{1}{b};\text{ }\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)

Thì \(x+y+z=3\)

\(P=\frac{x}{1+\frac{z}{x}}+\frac{y}{1+\frac{x}{y}}+\frac{z}{1+\frac{y}{z}}=\frac{x^2}{x+z}+\frac{y^2}{y+x}+\frac{z^2}{z+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+z+y+x+z+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2}=\frac{9}{2}.\)

bạn còn cách nào khác như biến đổi thẳng luôn trong vế trái thay vì đặt x,y ,z được không ? Cảm ơn nhiều !

ban co si duoi mau . sau do ap dung co si nguoc cho ca phan so la ra

Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\)

\(1+b^2\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)

Do đó: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\);  \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)

Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\)

Mặt khác ta có: \(3\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\le1\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Do đó; \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\ge3\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có

\(\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=\frac{ab}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\frac{bc\sqrt{bc}}{b+c}\le\frac{bc}{2};\frac{ac\sqrt{ac}}{a+c}\le\frac{ac}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT=Σ\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab+bc+ca}{2}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

b)Áp dụng tiếp AM-GM:

\(b\sqrt{a-1}\le\frac{b\left(a-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)

\(a\sqrt{b-1}\le\frac{a\left(b-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)

Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:

\(VT=b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}\le ab=VP\)

Khi \(a=b=1\)

Ta có \(\frac{a.1-bc}{a.1+bc}==\frac{a^2+ac}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a}{a+b}\)

Từ đó \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

\(=-\left(\frac{a}{c-1}+\frac{b}{a-1}+\frac{c}{b-1}\right)=-\left(\frac{a^2}{ca-a}+\frac{b^2}{ab-b}+\frac{c^2}{bc-c}\right)\)

\(\le-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca-\left(a+b+c\right)}=-\frac{1}{ab+bc+ca-1}\le-\frac{1}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-1}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(a^4+bc\ge2\sqrt{a^4bc}=2a^2\sqrt{bc}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+bc}\le\frac{a^2}{2a^2\sqrt{bc}}\)\(=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:

\(M\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ac}}\). Theo AM-GM có

\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\) thì

\(M\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

từ GT suy ra abc >=1 và a/bc + b/ca + c/ab = 3.

áp dụng BĐT Cauchy : a⁴ + bc >=2a²v(bc) (v(bc) là căn bc).

nên a²/a⁴ + bc <=1/2v(bc).

do đó M <= 1/2.(1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab).

ta chứng minh N = (1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab) <=3 là xong.

thật vậy.

giả sử a <=b<=c nên 1/v(bc) <= 1/v(ca)<= 1/v(ab).

áp dụng BĐT Trê bư sep ta được (v(a) + v(b) + v(c))/3 . ((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3 <= (v(a)/v(bc) + v(b)/v(ca) + v(c)/v(ab)/3.

ta có v(a) + v(b) + v(c) >=3 căn6(abc)>=3.

nên VT >=((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3. (1)

lại có (x + y + z)² <=3(x² + y² + z²) nên (VP)² <= (a/bc + b/ca + c/ab)/3= 1.

hay VP <= 1 (2).

từ (1) và (2) suy ra ((1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab))/3 <= 1 hay

(1/v(bc) + 1/v(ca) + 1/v(ab) <= 3

tức N <= 3 (đpcm).

(mình chưa biết đánh nên cố đọc nhé!)

em nghĩ cách của sir best r, chebyshev ngược dấu kìa

(

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhh

De dung la:

\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{1+a^2+b^2}\le\frac{9}{5}\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^2+b^2}{1+a^2+b^2}\ge\frac{6}{5}\)

\(VT\ge\frac{\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\Sigma_{cyc}a^2+3}\left(M\right)\)

Consider:

\(VT_M\ge\frac{6}{5}\)

\(5\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\Sigma_{cyc}a^2+9\)

Consider:

\(5\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge5\Sigma_{cyc}a^2+5\Sigma_{cyc}ab=5\Sigma_{cyc}a^2+5\)

Gio can cung minh:

\(5\Sigma_{cyc}a^2+5\ge\Sigma_{cyc}a^2+9\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}a^2\ge1\)

Ta lai co:

\(\Sigma_{cyc}a^2\ge\Sigma_{cyc}ab=1\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

đặt \(\sqrt{\frac{ab}{c}}=x;\sqrt{\frac{bc}{a}}=y;\sqrt{\frac{ca}{b}}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(P=\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\)

\(=\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{c}+1}+\frac{\frac{bc}{a}}{\frac{bc}{a}+1}+\frac{\frac{ca}{b}}{\frac{ca}{b}+1}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)