a: Xét ΔOAM vuông tại A có 

\(OM^2=OA^2+AM^2\)

hay \(AM=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của BA(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại trung điểm H của AB

b: Xét (O) có

\(\widehat{MAP}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AP

\(\widehat{AQP}\) là góc nội tiếp chắn cung AP

Do đó: \(\widehat{MAP}=\widehat{AQP}\)

=>\(\widehat{MAP}=\widehat{MQA}\)

Xét ΔMAP và ΔMQA có

\(\widehat{MAP}=\widehat{MQA}\)

\(\widehat{AMP}\) chung

Do đó: ΔMAP đồng dạng với ΔMQA

=>\(\dfrac{MA}{MQ}=\dfrac{AP}{QA}\left(1\right)\)

Xét (O) có

ΔQAP nội tiếp

QP là đường kính

Do đó: ΔQAP vuông tại A

Xét ΔHAP vuông tại H và ΔHQA vuông tại H có

\(\widehat{HAP}=\widehat{HQA}\left(=90^0-\widehat{HPA}\right)\)

Do đó: ΔHAP đồng dạng với ΔHQA

=>\(\dfrac{HA}{HQ}=\dfrac{AP}{QA}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{MA}{MQ}=\dfrac{HA}{HQ}\)

=>\(MA\cdot HQ=MQ\cdot HA\)

Ta thấy ^AIN chắn nửa đường tròn đường kính AN => ^AIN = 90⁰ => ^AIN = ^NHB => Tứ giác BINH nội tiếp

=> ^IHN = ^IBN. Mà ^IBN = ^NBA = ^NAM nên ^IHN = ^NAM => IH // AM hay IC // AE (1)

Ta có: ^NAK = ^NIK, ^NBH = ^NIH => ^NAK + ^NBH = ^NIK + ^NIH = ^DIC

Lại có: ^NAK = ^NBA, ^NBH = ^NAB. Suy ra: ^NBA + ^NAB = ^DIC = 180⁰ - ^DNC => Tứ giác DICN nội tiếp

=> ^NDC = ^NIC = ^NBH = ^NAB => AB // CD hay CE // AI (2)

Từ (1),(2) => Tứ giác AECI là hình bình hành => CI = EA (đpcm).

a) Xét (O): OB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm (gt).

\(\Rightarrow OB\perp MB\) (Tính chất tiếp tuyến).

\(\Rightarrow\widehat{OBM}=90^o\) hay \(\widehat{OBF}=90^o.\)

Xét tứ giác BFHO:

\(\widehat{OBF}=90^o\left(cmt\right).\\ \widehat{OHF}=90^o\left(OH\perp HF\right).\\ \Rightarrow\widehat{OBF}+\widehat{OHF}=180^o.\)

Mà 2 góc ở vị tri đối nhau.

\(\Rightarrow\) Tứ giác BFHO nội tiếp một đường tròn (dhnb).

b) Xét (O): \(OH\perp EF\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\) H là trung điểm của EF.

Xét \(\Delta EFO:\)

OH là đường trung tuyến (H là trung điểm của EF).

OH là đường cao \(\left(OH\perp EF\right).\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta EFO\) cân tại O.

a) Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) là hai góc đối

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Suy ra: M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn(đpcm)