1,Ta có luôn tồn tại một điểm K sao cho \(4\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AK}\).(*) Thật vậy:

VT_(*) = \(4\left(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}\right)-\left(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KC}\right)=3\overrightarrow{AK}+4\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KC}\) (**)

Từ (*) và (**) ta có : \(4\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\) ⇔\(4\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{KC}\) ⇒ B nằm giữa K và C sao cho 4KB = KC= \(\dfrac{4}{3}\) .BC.

Khi đó ta có : \(\left|4\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{3AK}\right|=3AK\)

Ap dụng định lí Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta được:

BC²= AB² + AC² ⇒BC = \(\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)⇒ KC = \(\dfrac{4}{3}\).BC = \(\dfrac{4}{3}\). \(2\sqrt{2}\)

⇒KC = \(\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\)

Ta có : tam giác ABC vuông cân tại A nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ACK}=45^O\)

Ap dụng định lí cosin ta có : Trong tam giác ACK có

AK = \(\sqrt{AC^2+KC^2-2AK.KC.\cos\widehat{ACK}}=\sqrt{2^2+\left(\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\right)^2-2.2.\dfrac{8\sqrt{2}}{3}.\cos45^O}=\dfrac{2\sqrt{17}}{3}\)

⇒3AK=2\(\sqrt{17}\)⇒ \(\left|4\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\)=2\(\sqrt{17}\)

VẬY.....................

Câu 2: AM=3MB => vt AC + vt CM = 3vtMC + 3vtCB

<=>vtCM - 3vtMC = 3vtCB -vtAC

<=>vtCM = 1/4 vtCA + 3/4 vtCB

(Mk mới học Toán 10 nên có sai thì thông cảm nha!!!)

\(S=\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt{b-6}}{b}+\frac{\sqrt{c-12}}{c}=\frac{\sqrt{2\left(a-2\right)}}{\sqrt{2}a}+\frac{\sqrt{6\left(b-6\right)}}{\sqrt{6}b}+\frac{\sqrt{12\left(c-12\right)}}{\sqrt{12}c}\)

\(\le\frac{\frac{2+a-2}{2}}{\sqrt{2}a}+\frac{\frac{6+b-6}{2}}{\sqrt{6}b}+\frac{\frac{12+c-12}{2}}{\sqrt{12}c}=\frac{a}{2\sqrt{2}a}+\frac{b}{2\sqrt{6}b}+\frac{c}{2\sqrt{12c}}\)(AM-GM)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{6}}+\frac{1}{2\sqrt{12}}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=4;b=12;c=24\)