Cho đường tròn ( O;R ) đường kính AB, M là một điểm chuyển động trên đường tròn ( M khác A,B ). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn (M)
a) Chứng minh AC//BD
b) CMR: CD là tiếp tuyến của (O) tại M
c) CMR: AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O) và tính tích AC.BD theo CD
d) Tìm vị trí của M trên (O) để HC = HD
a/
Ta có (M) tiếp xúc với AB tại H (gt) => AB là tiếp tuyến với (M)
Xét tg vuông ACM và tg vuông AHM có
AM chung
MC=MH (bán kính (M))
=> tg ACM = tg AHM (Hai tg vuông vó cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)
\(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{AMH}\)
C/m tương tự khi xét 2 tg vuông BDM và BHM ta cũng có
\(\widehat{BMD}=\widehat{BMH}\)
Ta có
\(\widehat{AMH}+\widehat{BMH}=\widehat{AMB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow\widehat{AMC}+\widehat{BMD}=\widehat{AMH}+\widehat{BMH}=\widehat{AMB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AMC}+\widehat{BMD}+\widehat{AMB}=90^o+90^o=180^o=\widehat{CMD}\)
=> C; M; D thẳng hàng
Ta có
\(AC\perp CD;BD\perp CD\) => AC//BD
b/ Ta có
AC//BD (cmt) => ACDB là hình thang
Mà
MC=MD (bán kính (M)
OA=OB=R
=> OM là đường trung bình của hình thang ACDB => OM//BD
Mà \(BD\perp CD\)
\(\Rightarrow OM\perp CD\) => CD là tiếp tuyến với (O)
c/
Ta có
AC=AH (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn)
BD=BH (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn)
\(\Rightarrow AC+BD=AH+BH=AB=2R\) không đổi
d/
Khi HC=HD => tg AHD cân tại H
Ta có MC=MD
\(\Rightarrow MH\perp CD\) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)
Mà \(OM\perp CD\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow H\equiv O\)
Xét tg AMB có
\(MH\perp AB\Rightarrow MO\perp AB\)
Mà OA=OB
=> tg AMB cân tại M (tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)
=> MA=MB => sđ cung MA = sđ cung MB (trong đường tròn 2 dây cung bằng nhau thì số đo 2 cung tương ứng bằng nhau)
=> M là điểm giưa cung AB
Cho đường tròn ( O;R ) đường kính AB, M là một điểm chuyển động trên đường tròn ( M khác A,B ). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn (M)
a) Chứng minh AC//BD
b) CMR: CD là tiếp tuyến của (O) tại M
c) CMR: AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O) và tính tích AC.BD theo CD
d) Tìm vị trí của M trên (O) để HC = HD
Fan BTS à mk cx thik nhưng ko phải army :))
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đén AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C và D là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
- MA là tia phân giác của góc HMC
Vậy C, M, D thẳng hàng.
Cho nửa đường tròn O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M( C và D là các tiếp điểm khác H)
a) Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi
c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đén AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C và D là các tiếp điểm khác H). Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi
Ta có: AC ⊥ CD và BD ⊥ CD (tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: AC // BD hay tứ giác ABDC là hình thang
Mà OA = OB (bán kính (O))
Và AC = MD (bán kính (M))
Suy ra OM là đường trung bình của hình thang ABDC
Khi đó OM // AC. Suy ra: OM ⊥ CD hay góc (OMI) = 90 °
Tam giác OMI vuông tại M có MH ⊥ OI
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: O M 2 = OH.OI
Suy ra: OH.OI = R 2 không đổi.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M là 1 điểm tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A, B). Kẻ 2 tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ 3 lần lượt cắt Ax, By tại C, D
a) Chứng minh CD = AC + BD và góc COD = 90 độ
b, Chứng minh OC // BM
c,Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
d,Chứng minh MN ⊥ AB .Gọi H là giao điểm của MN và AB (H thuộc AB ) .Chứng minh N là trung điểm của MH
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đén AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C và D là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi
Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AC = AH và BD = BH
Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH
Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB . Gọi Ax , By là hai tiếp tuyến vẽ từ A đến B ( Ax , By và nửa đường tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) . Qua điểm thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ) kẻ tiếp tuyến thứ ba , tiếp tuyến này cắt Ax và By lần lượt tại điểm C và D 1. Chứng minh CD=AC+BD.
2. Gọi N là giao điểm của AD và BC chứng minh MN song song với AC.
a: Xét (O) co
CM,CA là tiếp tuyên
=>CM=CA
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
=>DM=DB
CD=CM+MD
=>CD=CA+BD
b: Xet ΔACN và ΔDBN có
góc NAC=góc NDB
góc ANC=góc DNB
=>ΔACN đồng dạng vơi ΔDBN
=>AC/BD=AN/DN
=>CN/MD=AN/ND
=>MN/AC
