\(\frac{1}{10.11}+\frac{1}{11.12}+\frac{1}{12.13}+.......+\frac{1}{49.50}\)

\(=\frac{1}{10}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}+......+\frac{1}{50}\)

\(=\frac{1}{10}-\frac{1}{50}=\frac{2}{25}\)

\(C=3^{(10+11+12+...+50)}\)

\(C=3^{1230}\)

\(C=3^{10}+3^{11}+...+3^{50}\)

\(\Rightarrow3C=3^{11}+3^{12}+...+3^{51}\)

\(\Rightarrow3C-C=\left(3^{11}+...+3^{51}\right)-\left(3^{10}+...+5^{50}\right)\)

\(\Rightarrow2C=3^{51}-3^{10}\)

\(\Rightarrow C=\frac{3^{51}-3^{10}}{2}\)

\(S=10.11+11.12+12.13+...+29.30\)

\(\Rightarrow3S=10.11\left(12-9\right)+11.12\left(13-10\right)+...+29.30.\left(31-28\right)\)

\(\Rightarrow3S=10.11.12-9.10.11+11.12.13-10.11.12+...+29.30.31-28.29.30\)

\(\Rightarrow3S=9.10.11+29.30.31\)

\(\Rightarrow3S=3\left(3.10.11+29.10.31\right)\)

\(\Rightarrow S=3.10.11+29.10.31\)

\(\Rightarrow S=9320\)

Vậy S = 9320

A =  10 + 11 + 12 + ....+ 100 

Xét dãy số: 10; 11; 12; ...;100

 Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 11 -  10  = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (100 - 10) : 1  +  1 = 91

Tổng A là: A = (100 + 10) x 91 : 2 =  50005

B = 10 + 12+ ...+ 200

Xét dãy số: 10; 12; ...;200

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

  12 - 10 =  2

Số số hạng của dãy số trên là:

(200 - 10) : 2  +  1 = 96 (số hạng)

Tổng B là:

 B = (200 + 10) x 96: 2  = 10080

    C = 11 + 13+ ... + 99 

Xét dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

    13 - 11 = 2

Số số hạng của dãy số trên là:

   (99 -  11) : 2  + 1 = 45

Tổng C là:

(99 + 11) x 45 : 2  = 2475