Sửa lại bài bạn ở trên:

Ta có: x⁴ + y⁴ + z⁴ \(\ge\)(xy)² + (yz)² + (zx)²

\(\ge\)xzy² + xyz² + yzx² = xyz(x + y + z) = xyz

Dấu = xảy ra khi x = y = z

Kết hợp với x + y + z = 1

\(\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

đề => \(x^4+y^4+z^4=xyz\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)

ta có bđt \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

áp dụng ta được \(\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge xy.yz+xy.zx+yz.xz=xyz\left(x+y+z\right)\)

dấu "=" xảy ra <=> x=y=z

mà x+y+z=1

=>x=y=z=1/3 

(nếu cần cm bđt phụ thì nói mình nha)

Cám ơn bạn, mình làm được rồi!

Ta có :

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(x^4+y^4+z^4=xyz.\left(x+y+z\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)TA CÓ :

\(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=\ge xy.yz+yz.zx+zx.xy\)\(=xyz.\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\)\(x=y=z\)

Mà \(x+y+z=1\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\)

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(x^4+y^4+z^4=xyz.\left(x+y+z\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)ta có :

\(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy.yz+yz.zx+zx.xy=xyz.\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z\)

Mà \(x+y+z=1\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy hệ phương trình có nguyệm \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\)

( mình mới lớp 7 à nên có làm sai thì thông cảm giùm nha )

Áp dụng bđt : a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ca thì :

x^4+y^4+z^4 >= x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 >= xy^2z + yz^2x + zx^2y = xyz.(x+y+z) = xyz ( vì x+y+z = 1 )

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z và xyz=1 <=> x=y=z=1

Vậy .............

Tk mk nha

Hazzz.... mình bít làm òi, đăng lộn câu hỏi, nhưng dù sao cũng cảm ơn bạn :) 

Nguyễn Anh Quân làm đúng nhưng đoạn cuối phải dấu bằng xảy ra khi x=y=z và x+y+z=1 nhé chứ kp xyz=1 

Ta có :\(.\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\left(x+y+z\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=x^2yz+xy^2z+xyz^2\end{cases}}\)

Áp dụng bđt AM - GM ta có : 

\(x^2yz\le\frac{x^4+x^4+y^4+z^4}{4}=\frac{2x^4+y^4+z^4}{4}\)

\(xy^2z\le\frac{x^4+y^4+y^4+z^4}{4}=\frac{x^4+2y^4+z^4}{4}\)

\(xyz^2\le\frac{x^4+y^4+z^4+z^4}{4}=\frac{x^4+y^4+2z^4}{4}\)

\(\Rightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{4\left(x^4+y^4+z^4\right)}{4}=x^4+y^4+z^4\)

Mà hệ phương trình lại cho \(x^2yz+xy^2z+xyz^2=x^4+y^4+z^4\)

\(\Rightarrow x=y=z\)

Kết hợp với đề bài ta được : \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x=y=z\end{cases}\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{3}}\)

ta có \(x^4+y^4\ge2x^2y^2\); \(y^4+z^4\ge2y^2z^2\);\(z^4+x^4\ge2z^2x^2\)

==> \(2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)

<=> \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

mặt khác \(x^2y^2+y^2z^2\ge2xy^2z\)

              \(y^2z^2+z^2x^2\ge2xyz^2\)

              \(z^2x^2+x^2y^2\ge2x^2yz\)

==> \(2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge2xyz\left(x+y+z\right)=2xyz\)( vì x+y+z=1)

==> \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\)

dấu ''='' xảy ra khi x=y=z mà x+y+z=1 ==> x=y=z=1/3

vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\)

ukm...tiếc là mk mới lên lớp 7 thui!

nhìn khó quá

Bài b nhé bạn!

\(\hept{\begin{cases}\frac{xyz}{x+y}=2\\\frac{xyz}{y+z}=\frac{6}{5}\\\frac{xyz}{x+z}=\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{2}\\\frac{y+z}{xyz}=\frac{5}{6}\\\frac{x+z}{xyz}=\frac{2}{3}\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=\frac{5}{6}\\\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}=\frac{2}{3}\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{2}{3}}{2}=1\)

Trừ lại từng phương trình trong hệ:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{xy}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{yz}=\frac{1}{6}\\\frac{1}{xz}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=2\\yz=6\\xz=3\end{cases}\Rightarrow xyz=\sqrt{2.6.3}=6}\)

Chia lại từng phương trình trong hệ mới, được:

\(\hept{\begin{cases}z=3\\x=1\\y=2\end{cases}}\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right)\)

Xong rồi đó!!!