1.x=480

2.x=1;2

3.x=7

4.x=3

5.x=35

(111 + 222 + 333 + x) chia hết cho 3

111 x (1 + 2 + 3) + x chia hết cho 3 

MÀ 111 x 6 chia hết cho 3 < = > x chia hết cho 3

x=444

bằng 666

(111+222+333+x)=(666+x)

Vì 666 chia hết cho 3 nên để (666+x) chia hết cho 3 thì x có dạng là x=3a(với a là số tự nhiên)

a)

Ta có: \(222^{333}=\left(222^3\right)^{111}\equiv1^{111}=1\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow222^{333}+333^{222}\equiv1+333^{222}=1+\left(333^2\right)^{111}\)

\(\equiv1+12^{111}\equiv1+12^{110}\cdot12\equiv1+\left(12^2\right)^{55}\cdot12\)

\(\equiv1+1\cdot12\equiv13\equiv0\left(mod13\right)\)

Vậy $222^{333}+333^{222}$ chia hết cho $13.$

b) Ta có:

\(3^{105}\equiv\left(3^3\right)^{35}\equiv1^{35}\equiv1\) (mod13)

\(\Rightarrow3^{105}+4^{105}\equiv1+4^{105}\equiv1+\left(4^3\right)^{35}\)

\(\equiv1+12^{35}\equiv1+\left(12^2\right)^{17}\cdot12\equiv1+1\cdot12\equiv13\equiv0\left(mod13\right)\)

Vậy $3^{105}+4^{105}$ chia hết cho $13.$

Lại có:

\(3^{105}\equiv\left(3^3\right)^{35}\equiv5^{35}\equiv\left(5^5\right)^7\equiv1\left(mod11\right)\)

\(4^{105}\equiv\left(4^3\right)^{35}\equiv9^{35}\equiv\left(9^5\right)^7\equiv1\left(mod11\right)\)

Từ đây:\(3^{105}+4^{105}\equiv1+1\equiv2\left(mod11\right)\)

Vậy $3^{105}+4^{105}$ không chia hết cho $11.$

P/s: Rất lâu rồi không giải, không chắc.

1.a) 222³³³ và 333²²²

=> (111.2)³³³ và (111.3)²²²

=> [(111.2)³]¹¹¹ và [(111.3)²]¹¹¹

=> 111³.8 và 111².9

=> 888.111² và 111².9

Vì 888 > 9 => 222³³³ > 333²²²

b) 1x8y2 chia hết cho 36

=> 1x8y2 chia hết cho 4 và 9 (vì 36 = 4.9)

1x8y2 chia hết cho 4 => y2 chia hết cho 4 => y = {1;3;5;7;9}

Nếu y = 1 và 1x8y2 chia hết cho 9 => 1 + x + 8 + 1 + 2 chia hết cho 9 => 12 + x chia hết cho 9 => x = 6

Nếu y = 3 và 1x8y2 chia hết cho 9 => 1 + x + 8 + 3 + 2 chia hết cho 9 => 14 + x chia hết cho 9 => x = 4

Nếu y = 5 và 1x8y2 chia hết cho 9 => 1 + x + 8 + 5 + 2 chia hết cho 9 => 16 + x chia hết cho 9 => x = 2

Nếu y = 7 và 1x8y2 chia hết cho 9 => 1 + x + 8 + 7 + 2 chia hết cho 9 => 18 + x chia hết cho 9 => x = {0;9}

Nếu y = 9 và 1x8y2 chia hết cho 9 => 1 + x + 8 + 9 + 2 chia hết cho 9 => 20 + x chia hết cho 9 => x = 7

2.b)S = 3⁰ + 3² + ... + 3²⁰⁰²

=> S = (3⁰ + 3² + 3⁴) + ... + (3¹⁹⁹⁸ + 3²⁰⁰⁰ + 3²⁰⁰²)

=> S = (3⁰ + 3² + 3⁴) + ... + 3¹⁹⁹⁸.(3⁰ + 3² + 3⁴)

=> S = 91 + ... + 3¹⁹⁹⁸.91

=> S = 91.(1 + ... + 3¹⁹⁹⁸) chia hết cho 7

a) S = 3⁰ + 3² + ... + 3²⁰⁰²

=> 3²S = 3² + 3⁴ + ... + 3²⁰⁰⁴

=> 3²S - S = 3² + 3⁴ + ... + 3²⁰⁰⁴ - 3⁰ - 3² - ... - 3²⁰⁰²

=> 8S = 3²⁰⁰⁴ - 1

=> S = 3²⁰⁰⁴ - 1/8

thằng ngu học

1a, bài này t làm theo cách riêng

222³³³ và 333²²²

(111.2)³³³ = 111³³³. 2³³³

(111.3)²²² = 111²²² . 3²²²

so sánh 111³³³ > 111²²² (1)

2³³³ = (2³)¹¹¹ = 8¹¹¹

3²²² = (3²)¹¹¹ = 9¹¹¹

vì 9¹¹¹ > 8¹¹¹ nên 2³³³ < 3²²² (2)

Từ (1) và (2) ta được

111³³³ . 2³³³ = 111²²² . 3²²²

=> 222³³³ = 333²²²

(hơi dài dòng nhưng số nhỏ hơn cách đổi trực tiếp về cơ số hay lũy thừa = nhau thông thường) =)

1b, tự làm ik.... c~g đơn giản

2a, S = 3^o + 3² +3⁴ + .... + 3²⁰⁰²

9.S = 3² + 3⁴ + 3⁶ + ... + 3²⁰⁰⁴

=> 9.S - S = (3²+3⁴+3⁶+...+3²⁰⁰⁴) - 3^o - 3² - 3⁴ - ... - 3²⁰⁰²

=> 8 . S = 3²⁰⁰⁴ - 1

=> S = \(\frac{3^{2004}-1}{8}\)

2b, olm có mí câu

a, Ta có : 222 ≡ 1(mod 13) nên 222^333 ≡ 1 (mod 13) 
Và 333^2 ≡ -1 (mod 13) nên 333^222 ≡ -1 (mod 13) 
Cộng lại ta có: 
222^333 + 333^222 ≡ 0 (mod 13) đpcm 

b, 2222 ≡ 3 (mod 7) ; 3³ ≡ -1 (mod 7) ; chú ý: 5555 = 3*1851 + 2 
=> 2222^5555 ≡ 3^5555 ≡ (3³)^1851.3² ≡ (-1)^1851.9 ≡ -9 ≡ -2 ≡ 5 (mod 7) 
5555 ≡ 4 (mod 7) ; 4³ ≡ 1 (mod 7) ; 2222 = 3*740 + 2 
=> 5555^2222 ≡ 4^2222 ≡ (4³)^740.4² ≡ (1).16 ≡ 2 (mod 7) 
vậy: 2222^5555 + 5555^2222 ≡ 5+2 ≡ 0 (mod 7) => đpcm 

( tick đúng cho mink nha)

Là điều phải chứng minh đó

mod là j

ai trả lời nhanh và sớm ***