Ta có: (b^2 +c^2 -a^2)^2 -4b^2 .c^2

=(b^2 +c^2 -a^2)^2 -(2bc)^2

=(b^2 +c^2 -a^2 -2bc)(b^2 +c^2 -a^2 +2bc)

=(b^2 +c^2 -2bc -a^2) (b^2 +c^2 +2bc -a^2)

=[ (b-c)^2 -a^2] [(b+c)^2 -a^2]

=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta được: b-c-a<0 ,b-c+a>0 ,b+c-a>0 và b+c+a>0

Do đó: (b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)<0

Vậy (b^2 +c^2 -a^2)- 4b^2 .c^2 <0

Chúc bạn học tốt.

a: \(A=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2\)

\(=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-\left(2bc\right)^2\)

\(=\left(b^2-2bc+c^2-a^2\right)\left(b^2+2bc+c^2-a^2\right)\)

\(=\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right]\)

\(=\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)\)

b: a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

=>b+c>a và a+b>c và a+c>b

=>b+c-a>0 và a+b-c>0 và a+c-b>0

=>b+c-a>0 và b-(c+a)<0 và a+b-c>0

=>(b+c-a)[b-(c+a)][a+b-c](a+b+c)<0

=>A<0

Trong 1 tam giác , ta luôn có :

b - c < a

<=> (b-c)² < a²

<=> b² - 2bc +c² < a²

<=> b² +c² - a² < 2bc

<=> (b² +c² -a² )² < (2bc)²

<=> ( b² + c²-a²)² - 4b²c² < 0 (dpcm)

\(b^2+c^2-a^2-2bc=\left(b^2-2bc+c^2\right)-a^2=\left(b-c\right)^2-a^2=\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)\)

\(=\left(b-\left(c+a\right)\right)\left(b-\left(c-a\right)\right)\)

vì \(b< c+a;b>c-a\)(bđt tam giác )\(\Rightarrow b-\left(c+a\right)< 0;b-\left(c-a\right)>0\Rightarrow\left(b-\left(c+a\right)\right)\left(b-\left(c-a\right)\right)< 0\)

\(\Rightarrow b^2+c^2-a^2-2bc< 0\Rightarrow b^2+c^2-a^2< 2bc\)\(\Rightarrow b^2+c^2-a^2< \left(2bc\right)^2=4b^2c^2\)

\(\Rightarrow A=\left(b^2+c^2-a^2\right)-4b^2c^2< 0\)

Đinh Quang Hiệp bài đó còn cách giải nào khác ko.

Ta có:

\(\left(2a^2-b^2-c^2\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow4a^4+b^4+c^4-4a^2b^2-4a^2c^2+2b^2c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge6a^2b^2+6a^2c^2-3a^4\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}a}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}\ge\sqrt{3}\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\) ; \(\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}.\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Cộng vế: \(P\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}\)

\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c\)

câu a làm theo hằng đẳng thức 

câu b ta sẽ đc (b^2 +c^2 -a^2 -2bc )(b^2 +c^2 -a^2 +2bc ) = { (b-c)^2 -a^2 } {(b+c)^2-a^2}

theo bất đẳng thức trong tam giác thì hiệu 2 cạnh  luôn nhỏ hơn cạnh còn lại nên {(b-c)^2-a^2} <0 

mà {(b+c)^2-a^2} >0 \(\Rightarrow\)A<0 

k cho mk cái nha

a, \(A=\left(b^2+c^2-a^2\right)-4b^2c^2\)

\(\Rightarrow A=\left(b^2+c^2-a^2\right)-\left(2bc\right)^{^2}\)

\(\Rightarrow A=\left(b^2+c^2-a^2-2bc\right)\left(b^2+c^2-a^2+2bc\right)\)

\(\Rightarrow A=\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right]\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\)

\(\Rightarrow A=\left(c-b-a\right)\left(c-b+a\right)\left(c+b-a\right)\left(c+b+a\right)\)

b, Như bạn Trần Thị Nhung