Thật ra bài này là một câu trắc nghiệm thôi và mình muốn có lời giải rõ ràng. Có 4 đáp án các bạn chọn và giải rõ ràng ra nhé.

Hệ số k tốt nhất là:

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{1}{3}\)

C.  \(\frac{1}{4}\)

D. \(\frac{1}{5}\)

K biết

...........

...

\(k_{max}=\frac{1}{4}\). Cách làm là dùng Maple. Maple 17 mất gần 1 phút để giải bài này bằng chương trình do mình tổng hợp.

Vô thống kê hỏi đáp xem ảnh nha.

Tiện tay chém trước vài bài dễ.

Bài 1:

\(VT=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Nhưng dấu bằng không xảy ra nên ta có đpcm. (tui dùng cái kí hiệu tổng cho nó gọn thôi nha!)

Bài 2:

1) Thấy nó sao sao nên để tối nghĩ luôn

2) 

c) \(VT=\left(a-b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 0; b = 1

2b) \(VT=\left(a-2b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2+1\ge1>0\)

Có đpcm

Ồ bài 2 a mới sửa đề ak:)

a) Ta có: \(a^2-1\le0;b^2-1\le0;c^2-1\le0\) 

\(\Rightarrow\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\le0\)

\(a^2+b^2+c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\) ( vì \(abc\ge0\) )

Có \(b-1\le0\Rightarrow a^2b\sqrt{b}\left(b-1\right)\le0\Rightarrow a^2b^2\le a^2b\sqrt{b}\)

Tương tự: \(\hept{\begin{cases}b^2c^2\le b^2c\sqrt{c}\\c^2a^2\le c^2a\sqrt{a}\end{cases}\Rightarrow dpcm}\)

adult pron

4/3 nha bạn.

\(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)

\(=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)

Áp dụng bđt Cô Si: \(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)

Tương tự,cộng theo vế và rút gọn =>đpcm

\(\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)

\(=\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)

Áp dụng bđt CÔ si

\(\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\ge2\left(a+b\right)\)

.............

Ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Áp dụng bđt Cauchy , ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

Tương tự : \(\frac{ac}{\sqrt{3b+ac}}=\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ac}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\); \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow P=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}}\)

             \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)

 \(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

Suy ra : Max P \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

đây nhé Câu hỏi của Steffy Han - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

link bị lỗi rùi để mk lm lại

\(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}\le\frac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b+c}}\cdot\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c+a}}\)\(=\sqrt{\frac{ab}{b+c}\cdot\frac{ab}{c+a}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{2ab}{b+c}+\frac{2ab}{c+a}\right)\)

Tương tự cho \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}\)và\(\frac{ca}{\sqrt{3b+ca}}\)rồi cộng lại theo vế

\(P\le\frac{1}{4}\left(2a+2b+2c\right)\le\frac{3}{2}\)

\(Max_P=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

neu de bai bai 1 la tinh x+y thi mik lam cho

đăng từng này thì ai làm cho 

We have \(P=\frac{x^4+2x^2+2}{x^2+1}\)

\(\Rightarrow P=\frac{x^4+2x^2+1+1}{x^2+1}\)

\(=\frac{\left(x^2+1\right)^2+1}{x^2+1}\)

\(=\left(x^2+1\right)+\frac{1}{x^2+1}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2+1}}=2\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=0\))

Vậy \(P_{min}=2\Leftrightarrow x=0\)