a) Dễ thấy ^ABM = ^BAC = ^ACN = 60o => AB//CN và AC//BM => tg ACN ~ tg MBA (*) 
Ta có: BM/BC = BM/AB = AC/CN (do (*)) = BC/CN (1) 
Hơn nữa dễ thấy ^MBC = ^BCN = 120o (2) 
Từ (2) và (3) => tg MBC ~ tg BCN (**) 

b) Ta có ^MEB = ^AEB = ^ACB = 60o (3) 
^MFB = ^FBC + ^FCB = ^FMB + ^FCB (do (**) = 180o - ^MBC = 180o - 120o = 60o (4) 
Từ (3) và (4) => BMEF nội tiếp (***) 

c) EF cắt BC tại P và cắt (O) tại Q 
Ta có sđ cung ^EFN = ^BMA ( do (***)) = ^CAN ( do (*)) = ^CAE = ^CQE => CQ//FB 
Mà theo câu b) thì ^BFC = 60p = ^BQC => BQ//FC 
=> BFCQ là hình bình hành => P là trung điểm BC => EF đi qua trung điểm P cố định của BC

copy trên trang nayf mà cũng đăng lên https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20140214004437AAlhT8o

2) Theo 1). dễ thấy Δ B F A ∽ Δ B N P ⇒ Δ B N F ∽ Δ B P A ⇒ B N B P = F N A P (1).

Tương tự Δ C M E ∽ Δ C P A ⇒ C M C P = E M A P  (2).

Từ (1) và (2), ta có B N C M ⋅ C P B P = F N E M và theo giả thiết F N E M = B N C M , suy ra   C P = B P ⇒ A D là phân giác góc B A C ^ .

Điểm D ở đâu vậy bạn?