a: Xét ΔABM vuông tại B và ΔBCN vuông tại C có

AB=BC

BM=CN

=>ΔABM=ΔBCN

=>AM=BN

b: ΔABM=ΔBCN

=>góc BMA=góc CNB

mà góc CNB+góc CBN=90 độ

nên góc BMA+góc CBN=90 độ

=>AM vuông góc BN

Phạm Hồ Thanh Quang            

- Kéo dài AM, cắt CD tại K. 
- Theo đ/l menelaus: 
trong tam giac BCN, đt AK cắt BC tại M, CN tại K và BN tại I. Nên: 
MB/MC * KC/KN*IN/IB =1 (độ dài đại số) 
+ MB/MC=-1/2 
+KC/KN = 4/3 (dễ cm từ talet) 
Nên IN/IB=-3/2 
- Xét tam giác KMC và CMI: 
Có: M chung 
MC/MI = MK/CM 
(MK/CM= căn 10 (1) 
kẻ: IP vuông BC. Có: IP/CN = BI/BN=2/5 nên IP=2/5*a/2=a/5 
tương tự, BP/BC=2/5 nên BP=2a/5 
mà: BM=a/3 nên MP = a/15 
do đó: MI = a(2/45)^(0.5) 
MC=2a/3 nên MC/MI= căn 10 (2) ) 
(1) và (2) suy ra 2 tam giác đồng dạng 
Do đó góc C = góc I = 90 độ 
Do đó I thuộc đường tròn ngoại tiếp hv ABCD. 

Cách giải của bạn có phải lớp 8 không bạn, thấy nó xa vời quá, nhưng bạn không có cách khác thì thôi, cám ơn bạn

Câu hỏi của Hồ Văn Đạt - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Kéo dài AM cắt DC tại P

VÌ ABCD là hình vuông

=> Đặt: AB = BC = CD = DA = a

=> BM = \(\frac{a}{3}\); CN = \(\frac{a}{2}\)

=> MC = BC - BM = \(\frac{2a}{3}\)

+) \(\Delta\)ABM ~ \(\Delta\)PCM  ( tự chứng minh )

=> \(\frac{AB}{PC}=\frac{BM}{MC}\)

=> \(\frac{a}{PC}=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{2a}{3}}=\frac{1}{2}\)=> PC = 2a 

=> PN = PC - NC = 2a - \(\frac{a}{2}\)= \(\frac{3a}{2}\)

+) \(\Delta\)ABI ~ \(\Delta\)PNI ( tự chứng minh )

=> \(\frac{AB}{PN}=\frac{AI}{IP}\)

=> \(\frac{AI}{PI}=\frac{a}{\frac{3a}{2}}=\frac{2}{3}\)(1)

mà \(AI+PI=AP=\sqrt{AD^2+DP^2}=\sqrt{a^2+9a^2}=\sqrt{10}a\)( DP = DC + CP = 3a) (2)

Từ (1); (2) => \(\hept{\begin{cases}PI=\frac{3\sqrt{10}}{5}\\AI=\frac{2\sqrt{10}}{5}\end{cases}}\)

=> \(\frac{IP}{CP}=\frac{\frac{3\sqrt{10}a}{5}}{2a}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

\(\frac{CP}{MP}=\frac{2a}{\sqrt{MC^2+CP^2}}=\frac{2a}{\frac{2\sqrt{10}}{3}a}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)

Xét \(\Delta\)ICP và \(\Delta\)CMP có:

\(\frac{IP}{CP}=\frac{CP}{MP}\)( = \(\frac{3}{\sqrt{10}}\))

và ^IPC = ^CPM 

=> \(\Delta\)ICP ~ \(\Delta\)CPM

=> ^CIP = ^MCP = 90\(^o\)

=> ^AIC = 90\(^o\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD => O cách đều 4 điểm A, B, C, D (1)

Xét \(\Delta\)AIC vuông tại I có: O là trung điểm AC

=> O I = OA = OC (2)

Từ (1); (2) 

=> O cách đều 5 điểm A, B, C, D, I

thanks