Xét tứ giác ABNC có

M là trung điểm chung của AN và BC

AB=AC

=>ABNC là hình bình hành

=>BN=AC=AB

=>ΔBAN cân tạiB

            Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta NMC\) có :

                     \(\widehat{AMB}=\widehat{NMC}\) ( đối đỉnh )

                     AM = NM ( gt )

                      MB = MC ( M là trung điểm của BC )

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta NMC\) ( c.g.c )

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CNM}\) ( 2 góc tương ứng )

mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

\(\Rightarrow AB//NC\) (đpcm)

                Xét \(\Delta AMCvà\Delta NMBcó\) :

                           \(\widehat{AMC}=\widehat{NMB}\) ( đối đỉnh )

                           AM      =  NM ( gt )

                           MC      =   MB   ( M là trung điểm của BC )

\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta NMB\) ( c.g.c )

          Xét \(\Delta AMBvà\Delta AMCcó\) :

                   AM chung

                  MB       = MC  ( M là trung điểm của BC )

                  AB       = AC    (\(\Delta ABC\) cân tại A )

  \(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\) ( c.c.c )

mà \(\Delta NMB=\Delta AMC\)

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta NMB\) ( tính chất bắc cầu )

\(\Rightarrow BA=BN\) ( 2 cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow\Delta ABN\) cân tại B ( đpcm )

hình bạn tự vẽ nhé!!

a, Xét \(\Delta\)AHB và \(\Delta\)AHC
có  \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)

AB =AC (\(\Delta\)ABC cân)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(\(\Delta\)ABC cân)

=> \(\Delta AHB=\Delta AHC\)(ch-gn)

b, CM: \(\Delta AMH=\Delta NMB\)(c.g.c)

=> AH=BN (2 cạnh tương ứng)

c,CM: \(\Delta ABM=\Delta NHM\)(c.g.c)

=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{BAM}=\widehat{HNM}\left(1\right)\\AB=NH\end{cases}}\)

Mà AB>AH(trong tam giác vuông cạnh huyền là cạch lớn nhất)

Từ dó => NH > AH

Xét \(\Delta AHN\)có NH>AH(cmt)

=> \(\widehat{MAH}>\widehat{HNM}\left(2\right)\)

Từ (1)(2)=> \(\widehat{BAM}< \widehat{MAH}\)

d,Vì AI là đg t tuyến của NC (3)

CM là đg t tuyến của AN

Mà AI cắt CM tại H

Từ đấy=> H là trọng tâm \(\Delta ACN\)

=> AH là đg t tuyến của NC (4)

Từ (3)(4)=> A , H , I thẳng hàng nhau

chúc bạn hk tốt !!(nhớ k cho mình nha!!@@) 

a) Xét tam giác AHB và tam giác AHC có :

AB = AC ( ABC cân tại A )

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)

Chung AH

\(\Rightarrow\) tam giác AHB = tam giác AHC ( ch-cgv )

b) Xét tam giác BMN và tam giác HMA có :

BM = MH

\(\widehat{BMN}=\widehat{AMH}\left(đđ\right)\)

AM = MN

\(\Rightarrow\)tam giác BMN = tam giác HMA ( c-g-c )

\(\Rightarrow AH=NB\)

c) từ 2 tam giác bằng nhau ở câu b  \(\Rightarrow\widehat{MAH}=\widehat{MNB}\)(1)

Xét tam giác AHB vuông tại H có AB > AH ( cạnh huyền )

Mà AH = NB ( câu b )

\(\Rightarrow AB>BN\)

Xét tam giác ABN có AB > BN 

\(\Rightarrow\widehat{MNB}>\widehat{BAM}\)( 2 )

Từ (1) và (2) suy ra  \(\widehat{BAM}< \widehat{MAH}\)

d) Xét tam giác CBN có :

CH = HB

NI = IC

\(\Rightarrow\) HI là đường trung bình tam giác CBN

\(\Rightarrow\) HI // BN ( 3 )

Từ 2 tam giác bằng nhau ở câu b  \(\Rightarrow\widehat{MBN}=\widehat{MHA}=90^o\)

Ta có  \(BN\perp BH\)

          \(AH\perp BH\)

\(\Rightarrow\) AH // BN ( 4 )

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\) A ; H ; I thẳng hàng

Vậy ...

a) Xét \(\Delta AHB\)Và \(\Delta AHC\)Có :

\(AB=AC\)( Vì tam giác ABC cân)         (1)

\(HB=HC\)( Vì H là trung điểm của BC)             (2)

\(AH:\)Cạnh chung         (3)

Từ (1) ;(2) và (3)

\(\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHC\left(c.c.c\right)\)

b)

Xét \(\Delta AMH\)Và \(\Delta NMB\)có :

\(AM=NM\)(GT)           (1)

\(\widehat{AMH}=\widehat{BMN}\)( Đối đỉnh)        (2)

\(BM=HM\)( Vì M là trung điểm của BH )    (3)

Từ (1);(2) và (3)

\(\Rightarrow\Delta AMH=\Delta NMB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow AH=NB\)( Cặp cạnh tương ứng )

c) Hình như sai đề rồi bạn . 

M là trung điểm mà , sao mà góc BAM lại bé hơn góc MAH .

Thế thì mình chứng minh điều vô lí này nha.

 Vì AH là đường cao  mà tam giác ABC là tam giác cân

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\)( vì trong tam giác cân đường phân giác ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác )

Mà M là trung điểm của BH

=> đpcm

d)

Xét \(\Delta ACN\)có :

CM là đường trung tuyến của AN ( AM=MN)          (1)

Và   \(NI=CI\)(GT)             (2)

=> AI là đường trung tuyến của NC   (3)

Từ (1)và (2) ; (3)

\(\Rightarrow A;H;I\)thẳng hàng 

a: Sửa đề: Chứng minh ΔABM=ΔACM

Xét ΔABM và ΔACM có

AB=AC

BM=CM

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

b: Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMDC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CD

c: Xét ΔIAB và ΔICE có

IA=IC

\(\widehat{AIB}=\widehat{CIE}\)(hai góc đối đỉnh)

IB=IE

Do đó: ΔIAB=ΔICE

=>\(\widehat{IAB}=\widehat{ICE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CE

Ta có: AB//CE

AB//CD

CD,CE có điểm chung là C

Do đó: D,C,E thẳng hàng

Ta có: AB=CE(ΔIAB=ΔICE)

AB=CD(ΔIAB=ΔIDC)

Do đó: CE=CD
mà D,C,E thẳng hàng

nên C là trung điểm của DE

a) Xét \(\Delta\)AHB và \(\Delta\)DHB có:

^AHB = ^DHB ( 1v )

HA = HD ( giả thiết )

MH chung 

=> \(\Delta\)AHB = \(\Delta\)DHB  ( c.g.c) 

b) Từ (a) => ^ABH = ^DHB  => BH là phân giác ^ABD

Vì \(\Delta\)ABC nhọn => H nằm trong đoạn BC 

=> BC là phân giác ^ABD

c) NF vuông BC 

AH vuông BC 

=> NF // AH 

=> ^NFM = ^HAM ( So le trong )

Lại có: ^HMA = NMF ( đối đỉnh ) và MA = MF ( giả thiết )

=> \(\Delta\)NFM = \(\Delta\)HAM  ( g.c.g)

=> NF = AH ( 2) 

Từ ( a) => AH = HD ( 3)

Từ (2) ; (3) => NF = HD

a: Sửa đề: ΔABC vuông tại A

BC=căn 9^2+12^2=15cm

b: Xét ΔMAB và ΔMDC có

MA=MD

góc AMB=góc DMC

MB=MC

=>ΔMAB=ΔMDC

c: ΔMAB=ΔMDC

=>góc MAB=góc MDC

=>AB//CD

=>CD vuông góc CA

=>ΔCDA vuông tại C

a: Xét ΔMAC và ΔMDB có

MA=MD

\(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}\)(hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔMAC=ΔMDB

b: Xét ΔMEB và ΔMFC có

ME=MF

\(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMEB=ΔMFC

=>\(\widehat{MEB}=\widehat{MFC}\)

=>\(\widehat{MFC}=90^0\)

=>CF\(\perp\)AD

c: Xét tứ giác BFCE có

M là trung điểm chung của BC và FE

=>BFCE là hình bình hành

=>BF//CE và BF=CE

Ta có: BF//CE

B\(\in\)FG

Do đó: BG//CE

Ta có: BF=CE

BF=BG

Do đó: BG=CE
Xét tứ giác BGEC có

BG//EC

BG=EC

Do đó: BGEC là hình bình hành

=>BE cắt GC tại trung điểm của mỗi đường

mà H là trung điểm của BE

nên H là trung điểm của GC

=>G,H,C thẳng hàng