Giải:

Dùng biến đổi tương đương chứng minh được:

\(\left(x^2+x+2\right)^2=x^4+5x^3+4x+4>x^4+2x^3+2x^2+x+3>\) \(x^4+2x^3+x^2=\left(x^2+x\right)^2\)

\(\Rightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3=\left(x^2+x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy \(x=1\) hoặc \(x=-2\) thì phương trình trên là số chính phương

dùng phương pháp hệ số bất định ý bạn gọi đa thức đó là bình phương của đa thức (x^2+ax+b)^2 rồi khai triển là ok

Dùng biến đổi tương đương chứng minh được :

( x² + x+2)² = x⁴ + 2x³ + 5x² +4x+4 > x⁴ +2x³ +2x² +x+3 > x⁴ + 2x³ +x² = ( x² +x)² 

=) x⁴ +2x³ +2x² +x+3 = ( x² +x+1)²  (=) x⁴ +2x³ +2x² +x+3 = x⁴ +2x³ +3x² +2x+1 

(=) x² +x-2=0 (=) x=1 hoặc x=-2

a/ ta có: 

\(x\sqrt{2y-1}+y\sqrt{2x-1}=\sqrt{x}.\sqrt{2xy-x}+\sqrt{y}.\sqrt{2xy-y}\)

\(\le\frac{x+2xy-x}{2}+\frac{y+2xy-y}{2}=2xy\)

Dấu = xảy ra khi ...

Khi gì

b/ \(x^4-x^2+2x+2=\left(x+1\right)^2\left(x^2-2x+2\right)\)

\(\Rightarrow x^2-2x+2=y^2\)

Đơn giản rồi ha

Bạn tham khảo bài này, có dạng tương tự.

http://olm.vn/hoi-dap/question/776690.html

Ta có

\(x^4+x^3+x^2+x+1=y^2\)

\(\Leftrightarrow4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\)cũng là số chính phương

Ta thấy rằng

\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4>4x^4+4x^3+x^2=\left(2x^2+x\right)^2\)

Và 

\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4< 4x^4+4x^3+9x^2+4x+4=\left(2x^2+x+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2x^2+x\right)^2< \left(2y\right)^2< \left(2x^2+x+2\right)^2\)

\(\Rightarrow4y^2=\left(2x^2+x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+4x^3+5x^2+2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=3\end{cases}}\)

A = x^4 - x^2 + 2x + 2 = (x^4 - x^2) + (2x + 2)
= x^2(x^2 - 1) + 2(x + 1) = x^2(x - 1)(x + 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)(x^3 - x^2 + 2)
= (x + 1)[(x^3 + 1) - (x^2 - 1)]
= (x + 1)[(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x - 1)(x + 1)]
= (x + 1)^2.(x^2 - 2x + 2)
= (x + 1)^2.[(x - 1)^2 + 1]
Với x = - 1 => A = 0 (nhận)
Với x # -1
Ta có : A = k^2 với k là số tự nhiên
=> (x + 1)^2.[(x - 1)^2 + 1] = k^2
=> (x - 1)^2 + 1 phải là số chính phương
=> (x - 1)^2 + 1 = m^2 (với m là số tự nhiên và m^2 >= 1<=> m > 0)
<=> (x - 1)^2 - m^2 = - 1
<=> (x - 1 - m)(x -1 + m) = -1 = 1.(-1)
Vì m > 0 => x - 1 + m > x - 1 - m
x , m nguyên => x - 1 - m và x - 1 + m là số nguyên
=> x - 1 + m = 1 và x - 1 - m = -1
<=> x + m = 2 và x - m = 0
<=> x = m = 1
=> A = 1^4 - 1^2 + 2.1 + 2 = 4 là số chính phương vói x = 1
Vậy x = 1 và x = -1 thì A là số chính phương