a)

b) Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị (C1) của hàm số.

y = f(x) = − ( x + 1 ) 3  + 3(x + 1) + 1 hay f(x) = − ( x + 1 ) 3  + 3x + 4 (C1)

Lấy đối xứng (C1) qua trục Ox, ta được đồ thị (C’) của hàm số y = g(x) =  ( x + 1 ) 3  − 3x – 4

c) Ta có:  ( x + 1 ) 3  = 3x + m (1)

⇔  ( x + 1 ) 3  − 3x – 4 = m – 4

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đường :

y = g(x) =  ( x + 1 ) 3  − 3x – 4 (C’) và y = m – 4 (d1)

Từ đồ thị, ta suy ra:

    +) m > 5 hoặc m < 1: phương trình (1) có một nghiệm.

    +) m = 5 hoặc m = 1 : phương trình (1) có hai nghiệm.

    +) 1 < m < 5 , phương trình (1) có ba nghiệm.

d) Vì (d) vuông góc với đường thẳng:

nên ta có hệ số góc bằng 9.

Ta có: g′(x) = 3 ( x + 1 ) 2  – 3

g′(x) = 9 ⇔ 

Có hai tiếp tuyến phải tìm là:

y – 1 = 9(x – 1) ⇔ y = 9x – 8;

y + 3 = 9(x + 3) ⇔ y = 9x + 24.

Số nghiệm của phương trình  x 3 + 3 x 2 + 1 = m 2  bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m/2.

Từ đồ thị ta có:

+ Đường thẳng cắt đồ thị tại 1 điểm khi và chỉ khi :

⇒ phương trình có 1 nghiệm.

+ Để đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi :

⇒ Phương trình có hai nghiệm.

+ Với  ⇔ 2 < m < 10.

⇒ Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm

⇒ Phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Số nghiệm của phương trình x 3 = b là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = b và y = x 3 .

Dựa vào H26 ta có đồ thị hàm số  y = x 3  luôn cắt đường thẳng y = b tại một điểm duy nhất với mọi b nên phương trình x 3 = b luôn có nghiệm duy nhất với mọi b.

Số nghiệm của phương trình x 4 = b (1) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = b và y = x 4 . Dựa và hình 27 ta có:

+ Với b < 0 hai đồ thị hàm số trên không giao nhau, vậy phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với b = 0, hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau tại (0,0), vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0.

+ Với b > 0, hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biết, vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

a) TXĐ: D = R

Sự biến thiên:

y′ = 3 x 2  – 6x = 3x(x – 2)

y′=0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (– ∞ ;0), (2;+ ∞ )

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; y C Đ  = y(0) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y C T  = y(2) = -4.

Giới hạn: 

Điểm uốn: y” = 6x – 6, y” = 0 ⇔ x = 1; y(1) = –2

Suy ra đồ thị có điểm uốn I(1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại O(0;0), A(3;0). Đồ thị đi qua điểm B(-1;-4); C(2;-4).

b) x 3  – 3 x 2  – m = 0 ⇔ x 3  – 3 x 2  = m x 3  – 3 x 2  – m = 0 ⇔ x 3  – 3 x 2  = m (∗)

Phương trình (∗) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Từ đó suy ra: – 4 < m < 0.

a) Học sinh tự giải

b) 

⇔ x 4  − 8 x 2  − 9 = 0

⇔ ( x 2  + 1)( x 2  − 9) = 0

⇔ 

(C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3

Ta có: y′ = x 3  − 4x

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3 và x = -3 lần lượt là:

y = y′(3)(x – 3) và y = y′(−3)(x + 3)

Hay y = 15(x – 3) và y = −15(x + 3)

c) 

Từ đó, ta có:

k = −9/4: (C) và (P) có một điểm chung là (0; −9/4)

k > −9/4: (C) và (P) có hai giao điểm.

k < −9/4: (C) và (P) không cắt nhau.

a) y = x³ + 3x² + 1

Tập xác định: D = R

y’= 3x² + 6x = 3x(x+ 2)

y’=0 ⇔ x = 0, x = -2

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Số nghiệm của phương trình \(x^3+3x^2+1=\dfrac{m}{2}\) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): \(y=\dfrac{m}{2}\) (đường thẳng (d) vuông góc với Oy và cắt Oy tại \(\dfrac{m}{2}\) )

Từ đồ thị ta thấy:

- Với \(\dfrac{m}{2}< 1\Leftrightarrow m< 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

- Với \(\dfrac{m}{2}=1\Leftrightarrow m=2\) : (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với \(1< \dfrac{m}{2}< 5\)\(\Leftrightarrow2< m< 10\)

- Với \(\dfrac{m}{2}=5\Leftrightarrow m=10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với  \(\dfrac{m}{2}>5\Leftrightarrow m>10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

c) Điểm cực đại (-2, 5), điểm cực tiểu (0, 1).

Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: .

a) y = x³ + 3x² + 1

Tập xác định: D = R

y’= 3x² + 6x = 3x(x+ 2)

y’=0 ⇔ x = 0, x = -2

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): (đường thẳng (d) vuông góc với Oy và cắt Oy tại )

Từ đồ thị ta thấy:

- Với : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

- Với ⇔ m = 2: (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm

- Với ⇔ 2<m

- Với : (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

c) Điểm cực đại (-2, 5), điểm cực tiểu (0, 1).

Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: