Gọi 2 số chính phương liên tiếp đó là \(n^2,\left(n+1\right)^2\). Ta có:

\(P=n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)

\(=n^2+n^2+2n+1+n^2\left(n^2+2n+1\right)\)

\(=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)

Ta có \(\dfrac{P}{n^2}=n^2+2n+3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\)

\(=\left(n+\dfrac{1}{n}\right)^2+2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)+1\)

\(=\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow P=\left[n\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)\right]^2=\left(n^2+n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)

 Dễ dàng kiểm chứng được \(2|n\left(n+1\right)\), do đó \(n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ, suy ra đpcm.

Hai số chính phương liên tiếp là \(n^2;\left(n+1\right)^2\)

Theo đề ta có :

\(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)

\(=n^2+n^2+2n+1+n^4+2n^3+n^2\)

\(=\left(n^4+n^3+n^2\right)+\left(n^3+n^2+n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)^2\)

\(=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)

mà \(n\left(n+1\right)⋮2\) (là 2 số tự nhiên liên tiếp)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ

\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là số chính phương lẻ

\(\Rightarrow dpcm\)

Hai số chính phương liên tiếp lúc nào cũng là 1 chẵn và một lẻ. Nên tổng của chúng sẽ là số lẻ và tích của chúng  sẽ là số chẵn mà số lẻ cộng với số chẵn sẽ ra số lẻ. 

mày lớp mấy

\(a)\) \(Thay\) \(x=2\) \(\text{ vào }\)\(PT:\)

\(2m-3=2m-2-1.\\ \Leftrightarrow2m-3-2m+2+1=0.\)

\(\Leftrightarrow0=0\) (luôn đúng).

\(\Rightarrow\) PT luôn nhận x = 2 làm nghiệm với mọi giá trị của m.

Gọi hai số chính phương liên tiếp lần lượt là \(n^2,\left(n+1\right)^2\) (\(n\in N^{\text{*}}\))

Ta có : \(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2=n^2\left(n+1\right)^2+n^2+\left(n^2+2n+1\right)\)

\(=n^2\left(n+1\right)^2+2n\left(n+1\right)+1=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)

Dễ thấy n(n+1) chia hết cho 2 vì là tích của hai số tự nhiên liên tiếp => n(n+1) là số chẵn => n(n+1) + 1 là số lẻ

\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là một số chính phương lẻ.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Gọi 2 số chính phương liên tiếp là a² và (a + 1)²

Ta có: \(A=a^2+\left(a+1\right)^2+a^2\left(a+1\right)^2\)

\(=\left[a\left(a+1\right)\right]^2+2a^2+2a+1\)

\(=\left[a\left(a+1\right)\right]^2+2a\left(a+1\right)+1=\left[a\left(a+1\right)+1\right]^2\)

Ta thấy \(a\left(a+1\right)+1\) là số lẻ nên A là số chính phương lẻ (đpcm)

gọi 2 số chính phương liên tiếp là k^2 và (k + 1)^2

theo đề bài ta có : 

k^2 + (k+1)^2 + k^2(k+1)^2 

= k^2 + k^2 + 2k + 1 + k^2(k^2 + 2k + 1)

= 2k^2 + 2k + 1 + k^4 + 2k^3 + k^2

= k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1

= k^4 + k^2 + 1 + 2k^3 + 2k^2  + 2k 

= (k^2 + k + 1)^2

= [k(k+1)+1]^2

k(k+1) chia hết cho 2 (2 số tự nhiên liên tiếp) => k(k+1) +1 lẻ

=> [k(k+1)+1)^2 là số chính phương lẻ

Giả sử hai số chính phương liên tiếp đó là \(a^2,\left(a+1\right)^2\)

Ta có : \(a^2+\left(a+1\right)^2+a.\left(a+1\right)\)

\(=a^2+a^2+2a+1+a^2+a\)

\(=3a^2+3a+1\)

.....