Gọi ƯCNL(3n+1 ; 4n+1) = d

Ta có : 3n + 1 chia hết cho d  =>  4(3n + 1) chia hết cho d

            4n + 1 chia hết cho d  =>  3(4n + 1) chia hết cho d

=> 4(3n + 1) - 3(4n + 1) chia hết cho d

=> (12n + 4) - (12n + 3) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> 3n + 1 và 4n + 1 nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Gọi d là ƯCLN(3n+1;4n+1)

       3n+1 chia hết cho d             4(3n+1) chia hết cho d       12n+4 chia hết cho d(1)

=>{                                    =>{                                     =>

       4n+1 chia hết cho d            3(4n+1) chia hết cho d         12n+3 chia hết cho d(2)

Lấy (1)-(2) ta được : (12n+4) - (12n+3) chia hết cho d <=>1chia hết cho d

=> d thuộc Ư(1)=>d thuộc Ư(1) => d thuộc {+-1} vì d là ƯCLN=> d=1=> 3n+1 và 4n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Đặt ƯCLN(3n + 1;4n + 1) = d

Ta có:3n + 1 chia hết cho d 

4n + 1 chia hết cho d

=> 4(3n + 1 - 3(4n + 1) chia hết cho d

12n + 4 - 12n - 3 chia hết cho d

1 chia hết cho d => d \(\in\)Ư(1) = 1

Vậy: ƯCLN(3n + 1;4n + 1) = 1 hay 3n + 1 và 4n + 1 là 2 nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Gọi d là ƯCLN(3n + 1; 4n + 1) Nên ta có :

3n + 1 ⋮ d và 4n + 1 ⋮ d

=> 4(3n + 1) ⋮ d và 3(4n + 1) ⋮ d

=> 12n + 4 ⋮ d và 12n + 3 ⋮ d

=> (12n + 4) - (12n + 3) ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = ± 1

Vì ƯCLN(3n + 1; 4n + 1) = 1 nên 3n + 1 và 4n + 1 là nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

Gọi \(d=\left(3n+1,4n+1\right)=>\hept{\begin{cases}3n+1⋮d\\4n+1⋮d\end{cases}}\)

\(=>\left(4n-1\right)-\left(3n-1\right)⋮d\)

\(=>4\left(3n-1\right)-3\left(4n-1\right)⋮d\)

\(=>\left(12n-4\right)-\left(12n-3⋮d\right)\)

\(=>1⋮d\)(đpcm)

 gải:

ta gọi x là ƯCLN của 2n+1 và 3n+1

suy ra: (2n+1) chia hết cho x

           (3n+1) chia hết cho x

suy ra: [3(2n+1)-2(3n+1)] chia hết cho x

hay 1 chia hết cho x

suy ra: x e Ư(1)

Ư(1)={1}

do đó x=1

nên ƯCLN(2n+1;3n+1)=1

vì ƯCLN  của 2n+1 và 3n+1 là 1 nên hai số này là hai số nguyên tố cùng nhau 

n+1 và 4n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau khi ƯCLN (n+1;4n+3)=1

gọi ƯCLN (n+1;4n+3)=d

=>[(n+1)+(4n+3)] chia hết cho d

=>1 chia hết cho d =>d=1

=>ƯCLN(n+1;4n+3) =1

vậy n+1 và 4n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

CHÚC BẠN HỌC GIỎI

TK MÌNH NHÉ

Gọi UCLN\(\left(3n+1,4n+1\right)=d\)
=) \(3n+1⋮d \)=) \(4\left(3n+1\right)⋮d\)=) \(12n+4⋮d\)
\(4n+1⋮d\)=) \(3\left(4n+1\right)⋮d\)=) \(12n+3⋮d\)
=) \(\left(12n+4\right)-\left(12n+3\right)⋮d\)
=) \(12n+4-12n-3⋮d\)
=) \(1⋮d\)=) \(d\inƯ\left(1\right)=1\)
=) UCLN\(\left(3n+1,4n+1\right)=1\)
Vậy \(3n+1,4n+1\)là 2 số nguyên tố cùng nhau ( ĐPCM )

Ta có:3n+1 chia hết cho d => 4(3n+1) chia hết cho d => 12n+4 d

4n+1 chia hết cho d => 3(3n+1) chia hết cho d => 12n+3 d

(12n+4 )- (12n+3) chia hết cho d

1 chia hết cho d

vậy 3n+1 và 4n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Refer:

Ta có:3n+1 chia hết cho d => 4(3n+1) chia hết cho d => 12n+4 d

4n+1 chia hết cho d => 3(3n+1) chia hết cho d => 12n+3 d

(12n+4 )- (12n+3) chia hết cho d

1 chia hết cho d

vậy 3n+1 và 4n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau