1/ \(-9a^2+a+5=-\left(\left(3a\right)^2+2\cdot a\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{19}{4}\right)=-\left(3a+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{19}{4}\le-\frac{19}{4}\)

Vậy GTLN của biểu thức bằng -19/4

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(3a+2\right)^2=0\Leftrightarrow3a+2=0\Leftrightarrow a=-\frac{2}{3}\)

2/ \(2a^2+2ab+b^2+2a+5=a^2+2ab+b^2+a^2+2a+5=\left(a+b\right)^2+\left(a^2+2a+1\right)+4=\left(a+b\right)^2+\left(a+1\right)^2+4=0\ge4\)

Vậy GTNN của biểu thứ bằng 4

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(a+1\right)^2=0\Leftrightarrow a+b+a+1=0\Leftrightarrow2a+b+1=0\Leftrightarrow2a=-1-b\Leftrightarrow a=-\frac{1+b}{2}\)

4/ Ta có:

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\) ví x, y dương

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{\frac{1}{4}}=8\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x=y

  ta có (a-b)^2(a^2+ba+b^2)>=0 
<=>4(a-b)^2(a^2+ba+b^2)>=0 (1) 
(a^2-b^2)^2>=0 
<=>a^4+b^4-2a^2b^2>=0 
<=>3(a^4+b^4-2a^2b^2)>=0 (2) 
từ (1) và (2) =>4(a-b)^2(a^2+ba+b^2)+3(a^4+b^4-2a^2b^2... 
<=>7(a^2+b^2) - 6a^2b^2 - 4ab(a^2+b^2)>=0 
<=>8(a^2+b^2)>= a^4+b^4 + 2a^2b^2 + 4a^2b^2 + 4a^3b+4b^3a=(a+b)^4 
<=>(a^4+b^4)>=(a+b)^4/8 
<=>(a+b+2)(a^4+b^4)>=(a+b)^4.(a+b+2)/8 = (a+b)^5/8 + (a+b)^4/4 = (a+b)^5/8 + 15(a+b)^4/64 + (a+b)^4/64 (3) 
ta lại có a+b>=2 căn ab = 4 
=>15(a+b)^4/64>=60 và (a+b)^5/8>=128 (4) 
từ (3) và (4) => (a+b+2)(a^4 + b^4) >=60+128+(a+b)^4/64 
<=>(a+b+2)(a^2 + b^2) + 16/(a+b) >=188+(a+b)^4/64 + 16/(a+b) (5) 
mặt khác (a+b)^4/64 + 16/(a+b) >= 2 căn[ (a+b)^3/ 4 ] = căn (a+b)^3 >= căn (4^3)= 8 (6) 
từ (5) và (6) => (a+b+2)(a^4 + b^4) + 16/(a+b) >=188+8=196 
=> min[ (a+b+2)(a^4 + b^4) + 16/(a+b) ] = 196 khi và chỉ khi a=b=2

Nguồn: The Duc

hình như lạc đề rồi bạn ơi!

sai đề rồi kìa

Ta có : 

\(2a^2+24a+80=2a^2+24a+72+8=2\left(a+6\right)^2+8\)

Vì \(\left(a+6\right)^2\ge0\forall a\Rightarrow2\left(a+6\right)^2+8\ge8\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2\left(a+6\right)^2=0\Leftrightarrow a+6=0\Leftrightarrow a=-6\)

Vậy GTNN của bt trên là 8 <=> a = - 6

Ta có : 

\(2a^2+24a+80=2a^2+24a+72+8=2\left(a+6\right)^2+8\)

Vì \(\left(a+6\right)^2\ge0\forall a\Rightarrow2\left(a=6\right)^2+8\ge8\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow2\left(a+6\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a+6=0\Leftrightarrow a=-6\)

Vậy GTNN của biểu thức trên là 8 .\(\Leftrightarrow a=-6\)

                                            Bài giải

Đặt \(A=2a^2+24a+80=2a^2+24a+72+8=2\left(a+6\right)^2+8\ge8\)

Dấu " = " xảy ra khi \(2\left(a+6\right)^2=0\text{ }\Rightarrow\text{ }\left(a+6\right)^2=0\text{ }\Rightarrow\text{ }a+6=0\text{ }\Rightarrow\text{ }a=-6\)

Vậy \(Min_A=8\text{ khi }a=-6\)

Đặt \(A=\frac{a^4+2a^3+a^2+1}{a\left(a+1\right)}=\frac{\left(a^2+a\right)^2+1}{a^2+a}=a^2+a+\frac{1}{a^2+a}\)(a khác 0,-1)

=>\(A>=2\sqrt{\frac{\left(a^2+a\right)}{a^2+a}}=2\)

=>Min A=2 dấu '=' xảy ra khi \(a^2+a=\frac{1}{a^2+a}< =>\orbr{\begin{cases}a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

P/s do đề không nói rõ nên làm theo trường hợp a là số thực dương

giá trị nhỏ nhất là \(2,5\)

a) ĐK: `a >0`

`P=(a^2+\sqrta)/(a-\sqrta+1)-(2a+\sqrta)/(\sqrta)+1`

`=(\sqrta(\sqrt(a^3)+1^3))/(a-\sqrta+1)-(\sqrta(2\sqrta+1))/(\sqrta)+1`

`=(\sqrta(\sqrta+1)(a-\sqrta+1))/(a-\sqrta+1)-(2\sqrta+1)+1`

`=a+\sqrta-2\sqrta-1+1`

`=a-\sqrta`

b) `P=a-\sqrta`

`=(\sqrta)^2-2.\sqrta .1/2 + (1/2)^2 -1/4`

`=(\sqrta-1/2)^2 -1/4 ≥ -1/4`

`=> P_(min) =-1/4 <=> a=1/4`