chứng minh rằng nếu:1/a+1/b+1/c=2 và a+b+c=a*b*c thì 1/a^2+1/b^2+1/c^2=3
Những câu hỏi liên quan
A, cho abc = 1 và a+b+c = 1/a +1/b +1/c. Chứng minh tồn tại một trong 3 số a,b,c bằng 1
B, chứng minh rằng nếu a + b + c = n và 1/a + 1/b + 1/c = 1/n thì tồn tại một trong ba số bằng n
C, chứng minh rằng nếu 3 số a,b,c khác 0 thì thỏa mãn đẳng thức
a2 -- b2 / ab + b2 -- c2 /bc + c2 -- a2/ca =0
thì tồn tại hai số bằng nhau
1)chứng minh rằng nếu a+b+c=1 thì a^4 +c^4 +b^4 =abc
2) với a,b,c dương chứng minh rằng 2căna +2cănb+2cănc +a^2+b^2+c^2 >= 3(a+b+c)
Cho a^2+b^2+c^2+3= 2(a+b+c). Chứng minh a=b=c=1
2. Chứng minh rằng nếu a+b+c=0 thì a^3+b^3+c^3=3abc
5 tháng 4 2021 lúc 21:52
Chứng minh rằng nếu a,b,c \(\ge\)0 và abc=1 thì
\(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{2+c}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\le1\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+12\le2\left(ab+bc+ca\right)+9\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
Hiển nhiên đúng do: \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Vì abc=1 , ta đặt \(a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}\)
Điều phải chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{1}{2+\dfrac{x}{y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y}{z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z}{x}}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{y}{2y+x}+\dfrac{z}{2z+y}+\dfrac{x}{2x+z}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2y}{2y+x}+\dfrac{2z}{2z+y}+\dfrac{2x}{2x+z}\le2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+y}+\dfrac{z}{2x+z}\ge1\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
\(\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+x}+\dfrac{z}{2x+z}=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2zx}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
=> bài toán được chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 <=>a=b=c=1
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho \(M=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
Chứng minh rằng:
a. Nếu a, b, c là cạnh tam giác thì M > 1
b. Nếu M = 1 thì 2 trong 3 phân thức = 1 và 1 phân thức còn lại = -1
1.Chứng minh rằng a^2 + 5 > 4a
3( a^2 + b^2 + c^2) >= ( a+ b + c)^2
2. Cho a,b,c dương và a+b+c =3. Chứng minh rằng
1/a + 1/b + 1/c >= 3
1a)Xét a2 + 5 - 4a =a2 - 4a + 4+1=(a - 2)2+1\(\ge\)1 hay (a -2)2 + 1 > 0
\(\Rightarrow\)Đpcm
b)Xét 3(a2 + b2 + c2) -(a + b +c)2 =3a2 + 3b2 + 3c2 - a2 - b2 - c2 - 2ab - 2ac - 2bc
=2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc
=(a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2\(\ge\)0 (với mọi a,b,c)
\(\Rightarrow\)Đpcm
2)Xét A=\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+c+b\right)=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)
áp dụng cô-sy
\(\Rightarrow\)A\(\ge\)9
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Chứng minh rằng nếu ab+bc+ac=abc và a+b+c =0 thì 1/a^2+1/b^2+1/c^2=1
Giúp mik với nha !!!!!
Chứng minh rằng nếu \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)và a+b+c=2 thì \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)
Chứng minh rằng nếu 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c thì 2 trong 3 số đó phải đối nhau
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c-a}{a\left(a+b+c\right)}+\frac{c+b}{bc}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{b+c}{a\left(a+b+c\right)}+\frac{b+c}{bc}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(\frac{1}{a\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(\frac{bc+a\left(a+b+c\right)}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)\(\Rightarrow\left(b+c\right)\left(bc+a^2+ab+ac\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(b+c\right)\left[b\left(c+a\right)+a\left(c+a\right)\right]=0\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
Suy ra đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)