Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
hà ngọc ánh
Xem chi tiết
Lê Phan Anh Thư
Xem chi tiết
Mạnh Lê
23 tháng 5 2018 lúc 10:57

Với mọi n nguyên dương ta có:

\(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Với k nguyên dương thì 

\(\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)

\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\)(*)

Đặt A = vế trái. Áp dụng (*) ta có:

\(\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-\sqrt{1}\)

\(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\sqrt{5}-\sqrt{3}\)

...

\(\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-\sqrt{79}\)

Cộng tất cả lại

\(2A=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\left(đpcm\right)\)

3. 

Theo bất đẳng thức cô si ta có: 

\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}\le\frac{a.b}{2}\)

Tương tự \(\Rightarrow b.\sqrt{a-1}\le\frac{a.b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}\le a.b\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)

Nhóc Bin
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
9 tháng 7 2020 lúc 13:30

Đặt \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}\)

Ta có: \(\frac{1}{1+\sqrt{2}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\right)\)

...

\(\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\right)\)

Cộng các bất đẳng thức trên lại với nhau, ta được:

\(A>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}\right)\)

\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{81}-\sqrt{80}}{81-80}\right)\)

\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}\right)\)

\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}\left(\sqrt{81}-1\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(9-1\right)=\frac{1}{2}\cdot8=4\)

\(\Leftrightarrow A>4\)(đpcm)

nguyen van bi
Xem chi tiết
Lê Quốc Vương
Xem chi tiết
Trần Mai Ngọc
Xem chi tiết
ironman123
Xem chi tiết
Hân Dung Vũ
Xem chi tiết
KHANH QUYNH MAI PHAM
Xem chi tiết