Gọi giao điểm của AC và BD là O
Vì ABCD là hình thang cân nên tam giác AOB cân tại O mà  ˆAOB=600⇒AOB^=600⇒ tam giác AOB đều, ta giác COD đều
Mặt khác: 
BM là đường cao của tam giác AOB nên BM cũng là trung tuyến  MA=MO
CN là đường cao của tam giác COD nên cn cũng là trung tuyến NO=ND
Tam giác AOD có: MA=MO, NO=ND 
Tam giác BMC vuông tại M có MP là trung tuyến nên \(MP=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}\)
Tam giác BNC vuông tại N có NP là trung tuyến nên \(NP=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}\)
Do đó: MN=NP=MP

2) Gọi giao điểm của AC và BD là O.
Vì ABCD là hình thang cân nên tam giác AOB cân tại O mà góc AOB = 60⁰

 ^{\(\Rightarrow\)} AOB là tam giác đều,  COD là tam giác đều

Mặt khác:     BM là đường cao của tam giác AOB nên BM cũng là trung tuyến \(\Rightarrow\)MA = MO
                   CN là đường cao của tam giác COD nên CN cũng là trung tuyến \(\Rightarrow\) NO = ND
Tam giác AOD có: MA = MO, NO = ND \(\Rightarrow\)\(MN=\frac{AD}{2}\)
Tam giác BMC vuông tại M có MP là trung tuyến  \(\Rightarrow\) \(MP=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}\)
Tam giác BNC vuông tại N có NP là trung tuyến  \(\Rightarrow\) \(NP=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}\)
Do đó:      \(MN=MP=NP\)        \(\Rightarrow\)đpcm

tui có nick

Gọi giao điểm của AC và BD là O
Vì ABCD là hình thang cân nên tam giác AOB cân tại O mà  \(\widehat{AOB}=60^0\Rightarrow\) tam giác AOB đều, ta giác COD đều
Mặt khác: 
BM là đường cao của tam giác AOB nên BM cũng là trung tuyến \(\Rightarrow\) MA=MO
CN là đường cao của tam giác COD nên cn cũng là trung tuyến\(\Rightarrow\) NO=ND
Tam giác AOD có: MA=MO, NO=ND \(\Rightarrow\)\(MN=\frac{AD}{2}\)
Tam giác BMC vuông tại M có MP là trung tuyến nên 
Tam giác BNC vuông tại N có NP là trung tuyến nên 
Do đó: MN=NP=MP

ọi giao điểm của AC và BD là O
Vì ABCD là hình thang cân nên tam giác AOB cân tại O mà tam giác AOB đều, ta giác COD đều
Mặt khác:
BM là đường cao của tam giác AOB nên BM cũng là trung tuyến MA=MO
CN là đường cao của tam giác COD nên cn cũng là trung tuyến NO=ND
Tam giác AOD có: MA=MO, NO=ND
Tam giác BMC vuông tại M có MP là trung tuyến nên \(\(MP=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}\)\)
Tam giác BNC vuông tại N có NP là trung tuyến nên \(\(NP=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}\)\)
Vậy => MN=NP=MP

a) Xét tứ giác ABEC có  AB // CE; AC // BE .

Vậy nên ABEC  là hình bình hành. Suy ra AB = CE.

Do MN là đường trung bình hình thang ABCD nên ta có :

\(MN=\frac{AB+DC}{2}=\frac{CE+DC}{2}=\frac{DE}{2}.\)

b) Do ABCD là hình thang cân nên ta có:

\(AD=BC;DB=AC\)

Xét tam giác ABD và tam giác BAC có:

Cạnh AB chung

AD = BC

BD = AC

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta BAC\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{BAC}\) hay \(\widehat{ABO}=\widehat{BAO}\)

Xét tam giác OAB có \(\widehat{ABO}=\widehat{BAO}\) nê OAB là tam giác cân tại O.

c) Do ABEC là hình bình hành nên AC = BE

Lại có AC = BD nên BD = BE

Suy ra tam giác BDE cân tại B.

Tam giác cân BDE có BH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến.

Lại có theo câu a thì MN = DE/2

Giả thiết lại cho MN = BH. Vậy nên BH = DE/2

Xét tam giác BDE có trung tuyến BH bằng một nửa cạnh tướng ứng nên BDE là tam giác vuông tại B.

Vậy BDE là tam giác vuông cân tại B.