\(\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{b}{a}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{c}{b}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{c}}}\)

Đặt \(\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y;\frac{a}{c}=z\) khi đó x,y,z>0 và xyz=1
Không mất tính tổng quát giả sử z là số lớn nhất trong 3 số x,y,z \(\Rightarrow z^3\ge xyz=1\Rightarrow z\ge1\)

\(\Rightarrow xy\le1\)

Ta có:\(VT=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\le\sqrt{2\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\right)}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\)

\(\le\sqrt{2.\frac{2}{1+\sqrt{xy}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\)(Vì \(xy\le1\) thì \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\le\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\)  tự chứng minh)

\(=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{z}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z}}\)

Ta cần chứng minh:\(\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{z}}}}+\frac{1}{\sqrt{z+1}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\) với \(z\ge1\)(Tuơng đuơng là ra)

Okie nha

CM cái sau: 

Ta có: \(a+\frac{1}{a}=\frac{a}{1}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{1}.\frac{1}{a}}=2.1=2\) (bất đẳng thức Cauchy)

Chứng minh: 

\(\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

(áp dụng vào cái trên)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Rightarrow a=1\left(a>0\right)\)

\(S=\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt{b-6}}{b}+\frac{\sqrt{c-12}}{c}=\frac{\sqrt{2\left(a-2\right)}}{\sqrt{2}a}+\frac{\sqrt{6\left(b-6\right)}}{\sqrt{6}b}+\frac{\sqrt{12\left(c-12\right)}}{\sqrt{12}c}\)

\(\le\frac{\frac{2+a-2}{2}}{\sqrt{2}a}+\frac{\frac{6+b-6}{2}}{\sqrt{6}b}+\frac{\frac{12+c-12}{2}}{\sqrt{12}c}=\frac{a}{2\sqrt{2}a}+\frac{b}{2\sqrt{6}b}+\frac{c}{2\sqrt{12c}}\)(AM-GM)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{6}}+\frac{1}{2\sqrt{12}}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=4;b=12;c=24\)

Ta sử dụng bất đẳng thức Chebyshev sau đây:

Nếu các số \(a\ge b\ge c,x\ge y\ge z\) thì \(3\left(ax+by+cz\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right).\)

Thực vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(b-c\right)\left(y-z\right)+\left(c-a\right)\left(z-x\right)\ge0.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(\frac{a+b}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{b+c}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{c+a}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}\ge2\left(\frac{c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}\right)\)

\(\leftrightarrow\frac{a+b-2c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\frac{b+c-2a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge0\)         (***)

Tuy nhiên ta có \(a+b-2c\ge c+a-2b\ge b+c-2a\)   và \(\frac{1}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}\ge\frac{1}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}\ge\frac{1}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\)  nên theo bất đẳng thức Chebyshev 

\(\frac{a+b-2c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{c+a-2b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\frac{b+c-2a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\)

\(\ge\frac{1}{3}\left(a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b\right)\left(\frac{1}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}+\frac{1}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}+\frac{1}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\right)=0.\)

Vậy bất đẳng thức (***) đúng, nên ta có điều phải chứng minh.

\(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}=\dfrac{2}{\sqrt{17}}\sqrt{\left(4+\dfrac{1}{4}\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b+c}\right)}\ge\dfrac{2}{\sqrt{17}}\left(2a+\dfrac{1}{2\sqrt{b+c}}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+a}}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}\right)\)

Mặt khác:

\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{3\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\sqrt{6\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(4a+4b+4c+\dfrac{9}{\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}\left(a+b+c\right)+\dfrac{a+b+c}{8}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}+\dfrac{9}{2\sqrt{6\left(a+b+c\right)}}\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(\dfrac{31}{8}.6+3\sqrt[3]{\dfrac{81\left(a+b+c\right)}{32.6.\left(a+b+c\right)}}\right)=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

các bạn giúp mình nha càng nhanh càng tốt

Chờ mình nhé 

Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)

Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)

Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.

Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.

Bài 3: Nó sao sao ấy ta?