a: Xét ΔIHM vuông tại H và ΔINM vuông tại N có

IM chung

\(\widehat{HIM}=\widehat{NIM}\)

Do đó: ΔIHM=ΔINM

b: ta có: ΔIHM=ΔINM

nên HM=NM

c: Ta có: HM=MN

mà MN<MK

nên HM<MK

a: Xét tứ giác HGEN có 

HG//EN

HN//GE

Do đó: HGEN là hình bình hành

mà HE là tia phân giác

nên HGEN là hình thoi

a: Xét ΔHIK có IN là phân giác

nên HN/NK=HI/IK=HK/IK(1)

Xét ΔHIK có KM là phân giác

nên HM/MI=HK/KI(2)

Từ (1) và (2) suy ra HN/NK=HM/MI

=>MN//IK

=>ΔHMN\(\sim\)ΔHIK

b: Ta có: HN/HI=NK/IK

=>HN/10=NK/8

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{HN}{5}=\dfrac{NK}{4}=\dfrac{HN+NK}{5+4}=\dfrac{10}{9}\)

Do đó: HN=50/9(cm)

Xét ΔHIK có MN//IK

nên MN/IK=HN/HK

\(\Leftrightarrow MN=\dfrac{50}{9}:10\cdot8=\dfrac{40}{9}\left(cm\right)\)

a: HK=12cm

 b: Xét ΔIHM vuông tại H và ΔIEM vuông tại E có

IM chung

\(\widehat{HIM}=\widehat{EIM}\)

Do đó:ΔIHM=ΔIEM

c: Ta có: ΔIHM=ΔIEM

nên IH=IE; MH=ME

=>IM là đường trung trực của EH

a, Xét Δ IHK vuông tại H, có :

\(IK^2=IH^2+HK^2\) (định lí Py - ta - go)

=> \(13^2=5^2+HK^2\)

=> \(HK^2=144\)

=> HK = 12 (cm)

b, Xét Δ HIM và Δ EIM, có :

\(\widehat{HIM}=\widehat{EIM}\) (IM là tia phân giác \(\widehat{HIE}\))

IM là cạnh chung

\(\widehat{IHM}=\widehat{IEM}=90^o\)

=> Δ HIM = Δ EIM (g.c.g)

c, Ta có : Δ HIM = Δ EIM (cmt)

=> HI = EI

=> Δ HIE cân tại I

Ta có :

Δ HIE cân tại I

IM là tia phân giác \(\widehat{HIE}\)

=> IM ⊥ EH

B

B

a: Xét ΔHKI có 

M là trung điểm của HI

MF//IK

Do đó: F là trung điểm của HK

Xét ΔHKI có 

M là trung điểm của HI

F là trung điểm của HK

Do đó: MF là đường trung bình của ΔHKI

Suy ra: \(MF=\dfrac{IK}{2}=\dfrac{18}{2}=9\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác MFKI có MF//IK

nên MFKI là hình thang

a) Do MP // HK (gt)

\(HK\perp HI\) (\(\Delta HIK\) vuông tại H)

\(\Rightarrow MP\perp HI\)

\(\Rightarrow\widehat{MPH}=90^0\)

Do MQ // HI (gt)

\(HI\perp HK\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MQ\perp HK\)

\(\Rightarrow\widehat{MQH}=90^0\)

Tứ giác HQMP có:

\(\widehat{MQH}=\widehat{MPH}=\widehat{PAQ}=90^0\)

\(\Rightarrow HQMP\) là hình chữ nhật

b) \(\Delta MPH\) vuông tại P

\(\Rightarrow HM^2=PM^2+PH^2\left(Pytago\right)\)

\(\Rightarrow PM^2=HM^2-PH^2=10^2-6^2=64\)

\(\Rightarrow PM=8\left(cm\right)\)

Diện tích HQMP:

\(S_{HQMP}=PM.PH=8.6=48\left(cm^2\right)\)