Lời giải:
$(11^{2003}+11^{2002}):11^{2002}=11^{2002}(11+1):11^{2002}=11+1=12$

Đặt 

P =1^2002 + 2^2002 + 3^2002 +4^2002 +...+ 2002^2002 

Q = 1^2+2^2+..+ 2002^2, ta có Q = 1/6*2002*2003*(2.2002+1) ≡ 0 (mod 11) 
{Công thức 1^2 +2^2 +...+ n^2 = n(n+1)(2n+1)/6} 

P - Q = (1^2002 -1^2) + (2^2002-2^2) +..+ (2^2002 -2002^2) 

Theo định lý Fermat nhỏ thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 
=> a^10 ≡ 1 (mod 11) 
=> a^2000 ≡ 1 (mod 11) 
=> a^2002 ≡ a^2 (mod 11) (*) 

Từ (*) => P - Q ≡ 0 (mod 11) 
mà Q ≡ 0 (mod 11) theo cm trên 

=> P ≡ 0 (mod 11)

P =1^2002 + 2^2002 + 3^2002 +4^2002 +...+ 2002^2002 

Q = 1^2+2^2+..+ 2002^2, ta có Q = 1/6*2002*2003*(2.2002+1) ≡ 0 (mod 11) 
{Công thức 1^2 +2^2 +...+ n^2 = n(n+1)(2n+1)/6} 

P - Q = (1^2002 -1^2) + (2^2002-2^2) +..+ (2^2002 -2002^2) 

Theo định lý Fermat nhỏ thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 
=> a^10 ≡ 1 (mod 11) 
=> a^2000 ≡ 1 (mod 11) 
=> a^2002 ≡ a^2 (mod 11) (*) 

Từ (*) => P - Q ≡ 0 (mod 11) 
mà Q ≡ 0 (mod 11) theo cm trên 

=> P ≡ 0 (mod 11)

8008000

8008000

đáp số là ; 8008000

CHÚC BẠN HỌC TỐT !

\(\left(7^{2005}+7^{2004}\right):7^{2004}=7^{2005}:7^{2004}+7^{2004}:7^{2004}=7+1=8\)

\(\left(11^{2003}+11^{2002}\right):11^{2002}-11^{2003}:11^{2002}+11^{2002}:11^{2002}=11+1=12\)

\(1,\)

\(a,\) Với \(n=1\Leftrightarrow5+2\cdot1+1=8⋮8\left(đúng\right)\)

Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\)

Với \(n=k+1\)

\(5^n+2\cdot3^{n-1}+1=5^{k+1}+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot5+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot2+2\cdot3^k+5^k\cdot3+1\\ =2\left(5^k+3^k\right)+5^k+2\cdot5^{k-1}+1+2\cdot3^{k-1}-2\cdot3^{k-1}\\ =2\left(5^k+3^k\right)+\left(5^k+2\cdot3^{k-1}+1\right)-2\left(3^{k-1}+5^{k-1}\right)\)

Vì \(5^k+3^k⋮\left(5+3\right)=8;5^{k-1}+3^{k-1}⋮\left(5+3\right)=8;5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\) nên \(5^{k+1}+2\cdot3^k+1⋮8\)

Theo pp quy nạp ta được đpcm

\(b,\) Với \(n=1\Leftrightarrow3^3+4^3=91⋮13\left(đúng\right)\)

Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13\)

Với \(n=k+1\)

\(3^{n+2}+4^{2n+1}=3^{k+3}+4^{2k+3}\\ =3^{k+2}\cdot3+16\cdot4^{2k+1}\\ =3^{k+2}\cdot3+3\cdot4^{2k+1}+13\cdot4^{2k+1}\\ =3\left(3^{k+2}+4^{2k+1}\right)+13\cdot4^{2k+1}\)

Vì \(3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13;13\cdot4^{2k+1}⋮13\) nên \(3^{k+3}+4^{2k+3}⋮13\)

Theo pp quy nạp ta được đpcm

\(1,\)

\(c,C=6^{2n}+3^{n+2}+3^n\\ C=36^n+3^n\cdot9+3^n\\ C=\left(36^n-3^n\right)+\left(3^n\cdot9+2\cdot3^n\right)\\ C=\left(36^n-3^n\right)+3^n\cdot11\)

Vì \(36^n-3^n⋮\left(36-3\right)=33⋮11;3^n\cdot11⋮11\) nên \(C⋮11\)

\(d,D=1^n+2^n+5^n+8^n\)

Vì \(1^n+2^n+5^n⋮\left(1+2+5\right)=8;8^n⋮8\) nên \(D⋮8\)

\(2,\)

Ta thấy:\(1+2+...+2002=\left(2002+1\right)\left(2002-1+1\right):2=2003\cdot2002:2⋮11\left(2002⋮11\right)\)

Do đó \(1^{2002}+2^{2002}+...+2002^{2002}⋮1+2+...+2002⋮11\)