CMR: \(\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2-\left(a+b\right)\left(b+c\right)-\left(b+c\right)\left(c+a\right)-\left(a+b\right)\left(c+a\right)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

Bài này mk cần một cách làm sử dụng hằng đẳng thức hoặc một cách làm thông minh chứ không phải là phân tích hết ra từng cái vd (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 r cộng lại. Có cho phép sử dụng phân tích nhưng không phải là kiểu phân tích từ đầu tức là phân tích từng cái như mình đã nói ở trên

AI GIẢI ĐƯỢC MK SẼ TÍCH CHO 3 TÍCH. CẢM ƠN RẤT NHIỀU 

Tìm nhiều cách chứng minh BĐT sau đây với a, b, c không âm? Liệu có thể không? (Không dùng Dirichlet)

Chứng minh: \(F=2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8-5\left(a+b+c\right)\ge0\)

Em chỉ mới tìm ra một cách mà không biết đúng hay sai nữa

Đặt \(A=\frac{1}{8}\left(4a+bc-5\right)^2+\frac{\left(2c+7\right)\left(c-1\right)^2}{c+4}\)

\(B=\frac{1}{8}\left(4a+4b-5\right)^2+2\left(c-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{7}{4}\)

----------------------------------------------------------------------

Ta có các đẳng thức:

\(F=A-\frac{1}{8}\left(c-4\right)\left(4+c\right)\left(b-\frac{5}{4+c}\right)^2\)

\(F=B+ab\left(c-4\right)\)

\(\Rightarrow F=\frac{ab.A+\frac{1}{8}\left(4+c\right)\left(b-\frac{5}{4+c}\right)^2.B}{ab+\frac{1}{8}\left(4+c\right)\left(b-\frac{5}{4+c}\right)^2}\ge0\)

Mong mọi người tìm thêm các cách khác hay hơn ạ!

Mọi người ơi giúp em 3 bài này với... E làm mãi không được ..
Mọi người giúp em với. Em cảm ơn nhiều ạ.
1. Cho các số a,b,c,d thỏa mãn \(a^2+b^2+\left(a+b\right)^2=c^2+d^2+\left(c+d\right)^2\)

Chứng minh rằng :\(a^4+b^4+\left(a+b\right)^4=c^4+d^4+\left(c+d\right)^4\)

2. Cho các số a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1\)

Tính giá trị của biểu thức \(A=a^{2014}+b^{2015}+c^{2016}\)

3. Giải phương trình : \(\left(3x^2+x+2015\right)^2+4\left(x^2+1008\right)^2=4\left(x^2-1008\right)\left(3x^2+x+2015\right)\)

1/Cho các số thực dương chứng minh:\(\frac{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge2\)

2/Cho a,b dương.Chứng minh:\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\sqrt{2}\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge10\)

3/ Cho các số thực dương. Chứng minh: \(\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ca\right)\left(c^2+2ab\right)\ge abc\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)\)

Khi thử đổi biến chứng minh Iran 96 và cái kết.... Mà chả biết lúc đổi biến có tính sai chỗ nào ko mà kết quả nó nhìn khủng khiếp quá:(

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:

\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)

Đặt \(\left(a+b+c;ab+bc+ca;abc\right)=\left(3u;3v^2;w^3\right)\)

Cần chứng minh

\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow v^2\left(\left(3v^2+a^2\right)^2+\left(3v^2+b^2\right)^2+\left(3v^2+c^2\right)^2\right)\ge3\left(9uv^2-w^3\right)\)

\(\Leftrightarrow v^2\left(27v^4+6v^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(9uv^2-w^3\right)\)

\(\Leftrightarrow v^2\left(27v^4+6v^2\left(9u^2-6v^2\right)+a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(9uv^2-w^3\right)\)

\(\Leftrightarrow v^2\left(27v^4+6v^2\left(9u^2-6v^2\right)+81u^4-108u^2v^2+18v^4+12uw^3\right)\ge3\left(9uv^2-w^3\right)\)

\(\Leftrightarrow135u^4v^2-144u^2v^4+12uv^2w^3-27uv^2+45v^6+3w^3\ge0\)

\(\left(a^2+b^2-5\right)^2-4\left(ab+2\right)^2\)

\(=\left(a^2+b^2-5\right)^2-2^2\left(ab+2\right)^2\)

\(=\left(a^2+b^2-5\right)^2-\left(2ab+4\right)^2\)

\(=\left(a^2+b^2-5-2ab-4\right)\left(a^2+b^2-5+2ab+4\right)\)

\(=\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)-9\right]\left[\left(a^2+2ab+b^2\right)-1\right]\)

\(=\left[\left(a-b\right)^2-3^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-1^2\right]\)

\(=\left(a-b-3\right)\left(a-b+3\right)\left(a-b-1\right)\left(a-b+1\right)\) 

\(\left(x-y+4\right)^2-\left(2x+3y-1\right)^2\)

\(=\left(x-y+4-2x-3y+1\right)\left(x-y+4+2x+3y-1\right)\)

\(=\left(5-x-4y\right)\left(3+3x+2y\right)\)