a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔIDC vuông tại I có

BA=DC

góc HAB=góc ICD

=>ΔHBA=ΔIDC

=>AH=IC

b: Xét tứ giác BHDI có

BH//DI

BH=DI

=>BHDI là hình bình hành

c; S CAB=AB*CM/2

S DAC=1/2*CN*AD

mà ΔCAB=ΔDAC

nên AB*CM=CN*AD

a: S CAB=1/2*CM*AB

S CAD=1/2*CN*AD

mà ΔCAB=ΔCAD

nên CM*AB=CN*AD

b: Xét ΔAID vuông tại I và ΔANC vuông tại N có

góc IAD chung

=>ΔAID đồng dạng với ΔANC

=>AI/AN=AD/AC

=>AI*AC=AN*AD

Xét ΔHCB vuông tại H và ΔNAC vuông tại N có

góc HCB=góc NAC

=>ΔHCB đồng dạng với ΔNAC

=>HC/NA=CB/AC

=>CB*NA=HC*AC=AD*AN

=>AD*AN+AB*AM=AC^2

a) Xét tam giác ABH và tam giác CID có :

AB = CD ( gt )

\(\widehat{AHB}=\widehat{CID}=90^0\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{ICD}\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABH=\Delta CID\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow\)\(AH=CI\)

c) \(CM\perp AB\Rightarrow CM\perp CD\)

\(CN\perp AD\Rightarrow CN\perp BC\)

Xét tam giác BCM và tam giác CDN có :

\(\widehat{BMC}=\widehat{CND}\)

\(\widehat{MCB}=\widehat{DCN}\)

Suy ra tam giác BCM = tam giác CDN

\(\Rightarrow\)\(\frac{BC}{DC}=\frac{CM}{CN}\)

mà BC = AD và DC = AB

Suy ra AB.CM = CN.AD

AEAH=ABAC" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.15px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">AEAH=ABAC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

AFAK=ADAC" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18.15px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">AFAK=ADAC (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

$\Rightarrow AF.AC=AK.AD$ (2)

Ta có OE=OF (suy ra từ $\Delta OEB=\Delta OFD$ câu a)

OA=OC (tính chất hình bình hành)

$\Rightarrow OA-OE=OC-OF$ hay $AE=FC$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

$AB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.AC$

$=AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=A{}^{}$ (đpcm)

    Xét\(\Delta AEB\)và\(\Delta AHCC\)có:

                   \(\widehat{A}\) chung

          \(\widehat{AEB}=\widehat{AHC}=90^o\)

  \(\Rightarrow\Delta ABE~\Delta AHC\left(g.g\right)\)

   \(\Rightarrow\frac{AE}{AH}=\frac{AB}{AC}\)(hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

   \(\Rightarrow AE.AC=AB.AH\left(1\right)\)

  Xét \(\Delta AFD\)và \(\Delta AKC\)có:

             \(\widehat{A}\) chung

      \(\widehat{AFD}=\widehat{AKC}=90^o\)

   \(\Rightarrow\Delta AFD=\Delta AKC\left(g.g\right)\)

   \(\Rightarrow\frac{AF}{AK}=\frac{AD}{AC}\)(hai cạnh tương ứng bằng nhau)

    \(\Rightarrow AF.AC=AK.AD\left(2\right)\)

  Ta có \(OE=OF\) (suy ra từ \(\Delta OEB=\Delta OFD\)trong câu a)

           \(OA=OC\)(tính chất hình bình hành)

    \(\Rightarrow OA-OE=OC-OF\)hay \(AE=FC\left(3\right)\)

   Từ (1), (2) và (3) suy ra:

     \(AB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.AC\)

      \(=AC\left(AE+AF\right)+AC\left(FC+AF\right)=AC^2\)(đpcm)

......phần kia lỗi....

a: Xét ΔHAB có

M là trung điểm của HA

N là trung điểm của HB

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AB và MN=AB/2

=>MN//KC và MN=KC

=>NCKM là hình bình hành

b; Xét ΔBMC có

BH là đường cao

MN là đường cao

BH cắt MN tại N

DO đó:N là trực tâm

=>CN vuông góc với BM

=>BM vuông góc với MK

hay góc BMK=90 độ

a: Xét ΔIDC vuông tại I và ΔKDB vuông tại K có

góc IDC chung

=>ΔIDC đồng dạng với ΔKDB

b: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBKC vuông tại K co

góc BAH=góc BCK

=>ΔBHA đồng dạng với ΔBKC

=>BH/BK=BA/BC

=>BK*BA=BH*BC