Cho x,y,a,b khác 0 thỏa x+y=a+b và x4+y4=a4+b4
a) Khai triển (x+y)4và (a+b)4
b)CM 2xy(x+y)2-x2y2=2ab(a+b)2-a2b2
c)CM u2+uv+v2>=0. Dấu = xảy ra khi nào ?
d) CM xn+yn=an+bn, với mọi n là số tự nhiên
a) (x-y)(x4+x3y+x2y2+xy3+y4) = x5 - y5
b) (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) = x5 + y5
c) (a +b)(a3 - a2b + ab2 - b3) = a4 - b4
d) (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
a) (x-y)(x4+x3y+x2y2+xy3+y4) = x(x4+x3y+x2y2+xy3+y4)-y(x4+x3y+x2y2+xy3+y4) =(x5+x4y+x3y2+x2y2+xy4)-(x4y+x3y2+x2y2+xy4+y5) = x5+x4y+x3y2+x2y2+xy4-x4y-x3y2-x2y2-xy4-y5 =x5-y5⇒Điều cần chứng minh
Các câu b d tương tự
1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt:
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12.
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)!
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương)
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x
16. a) CM x² + y² = 7z²
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ
1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt:
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12.
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)!
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương)
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x
16. a) CM x² + y² = 7z²
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ
cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a^2 + b^2 = 4 + ab Chứng minh rằng 8/3 ≤ a^2 + b^2 ≤ 8
Dấu bằng xảy ra khi nào?
b. Cho (x,y) là nghiệm của phuơng trình x^2 + 3y^2 + 2xy - 10x - 14y+18 =0. Tìm nghiệm (x,y ) sao cho S = x + y đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất .
Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a^2 + b^2 = 4 + ab Chứng minh rằng 8/3 ≤ a^2 + b^2 ≤ 8
Dấu bằng xảy ra khi nào?
b. Cho (x,y) là nghiệm của phuơng trình x^2 + 3y^2 + 2xy - 10x - 14y+18 =0. Tìm nghiệm (x,y ) sao cho S = x + y đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất .
a) cho A=18x+17y và B=x+2y. CM A chia hất cho 19 khi và chỉ khi B chia hết cho 19 với mọi số nguyên x,y
b) cho a, b là các số nguyên. CMR 3a-b chia hết cho 5 khi và chỉ khi a-2b chia hết cho 5
c) cho x, y là 2 sô nguyên khác 0. Cm 3x^2-10y chia hết` cho 13 khi và chỉ khi x^2+y chia hết cho 13
Cho bốn số thực a, b, x, y thỏa mãn a + b = x + y và ab = xy. Chứng minh rằng a4 + b4 = x4 + y4.
1. Cho a1;a2;a3 khác 0 thỏa mãn:
(a2)^2 = a1 ×a3 ; (a3)^2 = a1 × a4 và (a2)^3 + (a3)^3 +(a4)^3 khác 0
Cmr: (a1)^3 +(a2)^3 +(a3)^3 ÷ (a2)^3 +(a3)^3 + (a4)^3 =a1÷a4
2.. tìm x biết
X=a÷b+c = b÷c+ a = c÷c+b , các tỉ số đều có nghĩa
3. cho x , y ,z thoả mãn:
X÷1998 = y÷1999= z÷2000, cmr:(x-z)^3 = 8×(x-y)^2 × (y-z)
4. A ,,cho: a÷x = b÷y = c÷z CMR: a÷x = b÷y = c÷z= (am-bn+cp)÷(xm-yn+zp)
B,, cho dãy tỉ số bằng nhau :
X÷a+2b+c = y÷2a+b-c = z÷4a-4b+c
CMR : a÷x+2y+z = b÷2x+y-z = c÷ 4a-4b+c
1.Cho 3 số thực a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=1. CMR
\(b+c\ge16abc\). Dấu = xảy ra khi nào?
2. Cho x,y,z là các số thực khác 0 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)CMR:
\(\frac{xy}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=3\)
2. Có : 1/x + 1/y + 1/z = 0
=> 1 + x/y + x/z = 0 => x/y + x/z = -1
Tương tự : y/x + y/z = -1 ; z/x + z/y = -1
=> x/y + x/z + y/x + y/z + z/x + z/y = -3
Lại có : 1/x+1/y+1/z = 0
<=> xy+yz+zx/xyz = 0
<=> xy+yz+zx = 0
Xét : 0 = (xy+yz+zx).(1/x^2+1/y^2+1/z^2)
= xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2+x/y+y/x+y/z+z/y+z/x+x/z
= xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2-3
=> xy/z^2+xz/y^2+xy/z^2 = 3
=> ĐPCM
Tk mk nha
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(1=\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\Rightarrow b+c\ge4a.4bc=16abc\)