\(a,n^5-n=n.\left(n^4-1\right)=n.\left(n^2-1\right).\left(n^2+1\right)\)

\(=n.\left(n^2-1\right).\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n.\left(n^2-1\right).\left(n^2-4\right)+5n.\left(n^2-1\right)\)

\(=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right).\left(n-2\right).\left(n+2\right)+5n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)\)
\(=\left(n-2\right).\left(n-1\right).n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)+5\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)

Vì (n-1).n.(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1=>(n-1).n.(n+1) chia hết cho 6

=>5.(n-1).n.(n+1) chia hết cho (5.6)=30  (1)

Vì (n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và 6

Mà (5;6)=1=> (n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2) chia hết cho 30  (2)

Từ (1);(2)=> (n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2)+5(n-1).n.(n+1) chia hết cho 30

=>n⁵-n chia hết cho 30 (đpcm)

\(b,\left(n^2+n-1\right)^2-1=\left(n^2+n-1-1\right).\left(n^2+n-1+1\right)\)

\(=\left(n^2+n-2\right).\left(n^2+n\right)=\left(n^2+2n-n-2\right).n.\left(n+1\right)\)

\(=\left[n\left(n+2\right)-\left(n+2\right)\right].n.\left(n+1\right)=\left(n+2\right)\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)

\(=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\)

Vì (n-1).n.(n+1).(n+2) là tích 4 số nguyên liên tiếp mà trong 4 số nguyên liên tiếp cũng có 3 số nguyên liên tiếp

=>(n-1).n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 (3)

Vì (n-1).n.(n+1).(n+2) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8 (4)

Từ (3);(4);lại có (3;8)=1

=>(n-1).n.(n+1).(n+2) chia hết cho 24

=>(n²+n-1)²-1 chia hết cho 24 (đpcm)

đặt A=n(n+1)(n+5)

-nếu n chia hết cho 3=>A chia hết cho 3

-nếu có dạng 3k+1(k là STN)

=>n+5=3k+1+5=3(2k+3) chia hết cho 3

=>A chia hết cho 3

-nếu n có dạng 3k+2

=>n+1=3k+3=3(k+1) chia hết cho 3

=>A chia hết cho 3

Do n là số tự nhiên nên n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (k thuộc N)

+ Với n = 3k thì n chia hết cho 3 => n.(n + 1).(n + 5) chia hết cho 3

+ Với n = 3k + 1 thì n + 5 = 3k + 6 = 3.(k + 2) chia hết cho 3 => n.(n + 1).(n + 5) chia hết cho 3

+ Với n = 3k + 2 thì n + 1 = 3k + 3 = 3.(k + 1) chia hết cho 3 => n.(n + 1).(n + 5) chia hết cho 3

Chứng tỏ tích n.(n + 1).(n + 5) là 1 số chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

Bài 1

n + 2 ⋮ n + 1

n + 1 + 1 ⋮ n + 1

            1 ⋮ n + 1

n + 1 \(\in\) Ư(1) = {-1; 1}

n \(\in\) {-2; 0}

Vì n \(\in\) N nên n = 0

Vậy n = 0

Bài 2:

2n + 7  ⋮ n + 1

2(n + 1) + 5 ⋮ n + 1 

                5 ⋮ n + 1

         n + 1  \(\in\) Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

        n \(\in\) {-6; -2; 0; 4}

Vì n \(\in\) N nên n \(\in\) {0; 4}

Vậy n \(\in\) {0; 4}

Bài 3

3n ⋮ 5.24

 n ⋮ 40

n = 40k (k  \(\in\) N)

Vậy n = 40k ; k \(\in\) N

Toi quen mat cach  lam roi xin loi nhe

1)

a)

=10...0+5

=10..05 chia hết cho 5

=1+0+5=6 chia hết cho3

b)10...0+44

=10...04 chia hết cho 2

=1+0+0+4+4=9 chia hết cho 9

n là stn => n= 3k hoặc n=3k + 1 hoặc n= 3k + 2                         (k thuộc N)

với n=3k

​ ta có : 3k ( 3k + 1) (3k +5)

3k chia hết 3 => 3k ( 3k + 1) ( 3k + 5) chia hết cho 3

hay: n(n+1)(n+5) chia hết cho 3

với n=3k+1

ta có : (3k+1)(3k+1+1)(3k+1+5)

         =(3k+1)(3k+2)(3k+6)

         =3(3k+1)(3k+2)(k+2) chia hết cho 3

hay : n(n+1)(n+5) chia hết cho 3

với n= 3k+ 2

ta có : (3k+2)(3k+2+1)(3k+2+5)

         =(3k+2)(3k+3)(3k+7)

         =3(3k+2)(k+1)(3k+7) chia hết cho 3

hay : n(n+1)(n+5) chia hết cho 3

Vậy với mọi stn n thì n(n+1)(n+5) chia hết cho 3

n+4:n+2

n+2+2:n+2

ma n+2:n+2

suy ra 2:n+2

n+2 là ước của 2

ước của 2 là :1,-1,2,-2

n+2=1 suy ra n=1-2 suy ra n=?

các trường hợp khác làm tương tự nhà và cả phần b nữa

3n+7:n+1

(3n+3)+3+7:n+1

3(n+1)+10:n+1

ma 3(n+1):n+1

suy ra 10:n+1 va n+1 thuoc uoc cua 10

den day lam nhu phan tren la duoc 

nhớ **** mình nha

n + 4\(⋮\)n+2
=> ( n + 2) + 2 \(⋮\)n + 2  mà n + 2\(⋮\)n+2
=>2 \(⋮\)n+ 2
=> n +2\(\in\)Ư(2)={1;2}
=> n \(\in\){ -1:0} mà n \(\in\)N
=> n\(\in\){0}
    Vậy n= 0

\(a,10⋮n\Rightarrow n\inƯ\left(10\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm5\pm10\right\}.\)

\(\Rightarrow n\in\left\{\pm1;\pm2;\pm5;\pm10\right\}\)

\(b,12⋮n-1\Rightarrow n-1\inƯ\left(12\right)\left\{\pm1;\pm2;\pm3\pm4;\pm6;\pm12\right\}\)

\(d,n+5⋮n+1\Rightarrow n+1+4⋮n+1.\)

mà \(n+1⋮n+1\Rightarrow4⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

n+1 = 1 => n = 0

n + 1 = -1 => -2 

..... tương tự vs 2; -2 ; 4 ; -4 

\(e,n+7⋮n+2\Rightarrow n+2+5⋮n+2\)

mà \(n+2⋮n+2\Rightarrow5⋮n+2\)

\(\Rightarrow n+2\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

n+2 = 1 => n = -1

n + 2 = -1 => n = 3 

.... tương tự vs 5 và -5 

\(f,2n+5⋮2n+1\Rightarrow2n+1+4⋮2n+1\)

\(\Rightarrow2n+1⋮2n+1\Rightarrow4⋮2n+1\)

\(\Rightarrow2n+1\inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

......  tự lm