P đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\frac{1}{P}\)đạt giá trị lớn nhất.

Xét : \(\frac{2}{P}=\frac{x^2+x+1}{x}=x+\frac{1}{x}+1\). Áp dụng bđt Cauchy với hai số không âm x và 1/x được : 

\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Rightarrow\frac{2}{P}\ge3\Leftrightarrow P\le\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x=\frac{1}{x}\end{cases}\Leftrightarrow}x=1\)

Vậy Min P = 2/3 tại x = 1

GTNN

\(P=\frac{2x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge0\forall x\ge0\)

GTLN

\(P=\frac{2}{\frac{x^2+x+1}{x}}=\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}\le\frac{2}{2\sqrt{x.\frac{1}{x}}+1}=\frac{2}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số không âm ta được

\(x^2+3+\frac{1}{x^2+3}\ge2\sqrt{\left(x^2+3\right)\cdot\frac{1}{x^2+3}}=2\sqrt{1}=2\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x^2+3=\frac{1}{x^2+3}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow x^4+6x^2+9=1\)

\(\Leftrightarrow x^4+6x^2+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)\left(x^2+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)=0\) hoặc \(\left(x^2+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=-2\) hoặc \(x^2=-4\) (vô nghiệm) (Sai đề r hay s á b, mik nghĩ là \(x^2-3\)ms đúng)

Vậy GTNN của M là 2 

Nhận thấy \(\left(2x+\frac{1}{3}\right)^{44}\ge0\forall x\)

=> \(\left(2x+\frac{1}{3}\right)^{44}-1\ge-1\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(2x+\frac{1}{3}=0\Rightarrow x=-\frac{1}{6}\)

Vậy Min A  = -1 <=> X = -1/6

a, \(\left(2x+\frac{1}{3}\right)^{44}\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(2x+\frac{1}{3}\right)^{44}-1\ge-1\)

Dấu "=" xảy ra <=> 2x+1/3=0 <=> x= -1/6

b) Sửa đề \(B=-\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{15}\right)^6+3\)

Ta có \(-\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{15}\right)^6\le0\forall x\)

=> \(-\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{15}\right)^6+3\le3\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{4}{9}x-\frac{2}{15}=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{10}\)

Vậy Max B = 3 <=> x = 3/10 

a,\(A=\left(\frac{2x-x^2}{2\left(x^2+4\right)}-\frac{2x^2}{\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)}\right)\left(\frac{2x+x^2\left(1-x\right)}{x^3}\right)\left(ĐKXĐ:x\ne2;x\ne0\right)\)

\(A=\frac{\left(2x-x^2\right)\left(x-2\right)-4x^2}{2\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)}.\frac{-x^3+x^2+2x}{x^3}\)

\(=\frac{-x^3-4x}{2\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)}.\frac{x^2-x-2}{-x^2}\)

\(=\frac{-x\left(x^2+4\right)}{2\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)}.\frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{-x^2}=\frac{x+1}{2x}\)

b, \(A=x\Leftrightarrow\frac{x+1}{2x}=x\Rightarrow2x^2=x+1\Leftrightarrow2x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\x=1\end{cases}}\)(thỏa mãn điều kiện)

c, \(A\in Z\Leftrightarrow\frac{x+1}{2x}\in Z\Leftrightarrow x+1⋮\left(2x\right)\)

\(\Leftrightarrow2x+2⋮2x\Leftrightarrow2⋮2x\Leftrightarrow1⋮x\Leftrightarrow x=\pm1\) (thỏa mãn ĐKXĐ)

Biểu thức này chỉ có GTLN thôi.

\(A=\frac{3}{2x^2+x+1}=\frac{3}{2\left(x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)}=\frac{3}{2\left[\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{16}\right]}=\frac{3}{2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{8}}\le\frac{3}{\frac{7}{8}}=\frac{24}{7}\)

GTLN của A là \(\frac{24}{7}\) khi \(x+\frac{1}{4}=0\Rightarrow x=-\frac{1}{4}\)