MAT DAY LOP 6,7,8,9 MA DUA LOP 1 , MAT DAY DI MA

Ta có \(HK\perp BC,K\in BC;\overrightarrow{HK}=\left(0;-2\right)\Rightarrow y-1=0\)

Gọi M là trung điểm của BC ta có phương trình \(x+3=0;M=IM\cap BC\Rightarrow M\left(-3;1\right)\)

Gọi D là điểm đối xứng của A qua I chỉ ra BHCD là hình bình hành. Khi đó M là trung điểm của HD, suy ra D(-5;-1).

I là trung điểm của AD, suy ra A(-1;7)

\(AI=\sqrt{20}\), phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là : \(\left(x+3\right)^2+\left(y-3\right)^2=20\)

Tọa độ điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình :

\(\begin{cases}y-1=0\\\left(x+3\right)^2+\left(y-3\right)^2=20\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=-7\\y=1\end{cases}\)

Vậy ta có \(B\left(1;1\right),C\left(-7;1\right)\) hoặc \(B\left(-7;1\right),C\left(1;1\right)\)

Suy ra \(A\left(-1;7\right);B\left(1;1\right),C\left(-7;1\right)\)

   hoặc\(A\left(-1;7\right);B\left(-7;1\right),C\left(1;1\right)\)

Ta dễ có tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường kính AB => ^CDE = ^BAE

Lại có ^BAE = ^CAD (= 90⁰ - ^ACB), suy ra ^CDE = ^CAD = 90⁰ - ^ACD => DE vuông góc AC

Thấy D,E,P cùng có tung độ bằng 1 => D,E,P thẳng hàng, vì P thuộc AC nên DE vuông góc với AC tại P

Đường thẳng AC: đi qua P(2;1), VTPT \(\overrightarrow{DE}=\left(5;0\right)\) \(\Rightarrow AC:x-2=0\)

Xét hệ: \(\hept{\begin{cases}x-2=0\\x+y-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}}\Rightarrow A\left(2;0\right)\)

Đường thẳng BC: đi qua \(D\left(-2;1\right)\),VTPT \(\overrightarrow{DA}=\left(4;-1\right)\Rightarrow BC:4x-y+9=0\)

Xét hệ: \(\hept{\begin{cases}x-2=0\\4x-y+9=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=17\end{cases}\Rightarrow C\left(2;17\right)}\)

Đường thẳng BE: đi qua \(E\left(3;1\right)\), VTPT \(\overrightarrow{AE}=\left(1;1\right)\Rightarrow BE:x+y-4=0\)

Xét hệ: \(\hept{\begin{cases}4x-y+9=0\\x+y-4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=5\end{cases}}\Rightarrow B\left(-1;5\right)\)

Vậy \(A\left(2;0\right),B\left(-1;5\right),C\left(2;17\right)\).

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\x-2y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(0;-1\right)\)

Gọi vtpt của đường thẳng CM (cũng là đường cao kẻ từ C) có tọa độ \(\left(a;b\right)\)

H là chân đường cao kẻ từ B

\(cos\widehat{HBC}=\dfrac{\left|1.1+1.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{MCB}=cos\widehat{HBC}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+1^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}\left|a+b\right|\Leftrightarrow a^2+b^2=5\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+5ab+2b^2=0\Leftrightarrow\left(a+2b\right)\left(2a+b\right)=0\)

Chọn \(\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(2;-1\right)\\\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\) (trường hợp (1;-2) loại do song song BH)

\(\Rightarrow\) Phương trình đường cao kẻ từ C:

\(2\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y-3=0\)

Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(...\right)\)

Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow\) tọa độ N

Tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow\) AN là trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow\) Đường thẳng AN vuông góc BC \(\Rightarrow\) nhận (1;-1) là 1 vtpt và đi qua N

\(\Rightarrow\) Phương trình AN

Đường thẳng AB vuông góc CM nên nhận (1;2) là 1 vtpt

\(\Rightarrow\) Phương trình AB (đi qua B và biết vtpt)

\(\Rightarrow\) Tọa độ A là giao điểm AB và AN