Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G. Cho biết BC=a,CA=b,AB=c, chứng minh a2+b2=5c2
cho tam giác ABC có BC=a, AB = c , AC=b thỏa mãn hệ thức a2 +b2 =5c2 , tính góc giữa 2 trung tuyến AM và BN
Gọi G là giao điểm của AM và BN.
Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến: \(AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\);
\(BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{4}\).
Từ đó \(AG^2=\dfrac{4}{9}AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}\); \(BG^2=\dfrac{4}{9}BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{9}\).
Do đó \(AG^2+BG^2=\dfrac{a^2+b^2+4c^2}{9}=\dfrac{9c^2}{9}=c^2=AB^2\).
Theo định lý Pythagoras đảo thì tam giác AGB vuông tại G.
Vậy góc giữa 2 trung tuyến AM và BN là 90o.
Cho tam giác ABC cân tại A trung tuyến AM và trung tuyến BN cắt nhau tại G qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt BN tại I
a. Chứng minh tam giác AGB=AGC
b. C/m rằng CI=2GM
C. So sánh góc AIB và góc ABI
Xét tg AGB và tg AGC có
AB=AC
AG chung
\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)
=> tg AGB = tg AGC (c.g.c)
b/
\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)
\(\Rightarrow AM\perp BC\)
\(CI\perp BC\)
=> GM//CI mà MB=MC => GB=GI (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)
Xét tg BCI có
MB=MC; GB=GI (cmt) => GM là đường trung bình của tg BCI
\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}CI\Rightarrow CI=2GM\)
(Tự vẽ hình)
a)
Xét ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến
=> AM đồng thời là đường phân giác, đường cao của ΔABC
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\\GM\perp BC\end{matrix}\right.\)
Vì ΔABC cân tại A
=> AB = AC (Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔABG và ΔACG có:
AB = AC(cmt)
\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)(cmt)
AG chung
=> ΔABG = ΔACG(cgc)(đpcm)
b)
Có \(\left\{{}\begin{matrix}GM\perp BC\left(cmt\right)\\IC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
=> GM // IC
Xét ΔBIG có M là trung điểm BC
Mà GM//IC
=> GM là đường trung bình của ΔBIC
=>\(\left\{{}\begin{matrix}MG//IC\\IC=2.GM\left(dpcm\right)\end{matrix}\right.\)
c)
Có AG//IC(cmt)
=> \(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(2 góc so le trong)
Vì AM,BN là 2 đường trung tuyến của ΔABC
Mà AM cắt BN tại G
Nên G là trọng tâm ΔABC
=>AG = \(\dfrac{2}{3}\)AM
=>AG = 2.GM
Mà IC = 2.GM(cm câu b)
=> AG = IC
Xét ΔGAC và ΔICA có:
AG = IC(cmt)
\(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(cmt)
AN = NC(BN là đường trung tuyến)
=> ΔGAC = ΔICA(gcg)
=> AI = GC(2 cạnh tương ứng)
Mà ΔABG = ΔACG(cm câu a) => BG = CG
=> AI = BG(1)
Có \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+\widehat{GMB}\)(góc ngoài tam giác)
=> \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+90^0\)
=> \(\widehat{AGB}>90^0\)
=> Cạnh AB lớn nhất trong ΔABG
=> AB>BG(2)
Từ (1) và (2) => AB > AI
=> \(\widehat{AIB}>\widehat{ABI}\)
CHO tam giác ABC hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G biết BC=a,AC=b,AB=c CHỨNG MINH RẰNG
a^2+b^2=5c^2
MONG CÁC BẠN GIÚP
1) tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau . chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
2)cho tam giác ABC cân ở A , AB=34cm , BC =32cm , và 3 trung tuyến AM , BN , CP đồng quy tại trọng tâm G
a) chúng minh AM vuông góc với
b) tính độ dài AM , BN ,CP (làm trong kết quả đến chữ số thập phân thứ 2)
câu 2 :
a) có phải là chứng minh AM ⊥ BC không
xét ΔAMB và ΔAMC, ta có :
AB = AC (2 cạnh bên của ΔABC cân tại A)
MB = MC (AM là đường trung tuyến của cạnh BC)
AM là cạnh chung
=> ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)
=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 cạnh tương ứng)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^O\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^O}{2}=90^O\)
=> AM ⊥ BC
cho tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung tuyến là AM và BN vuông góc với nhau tại G
1, biết AB= \(\sqrt{6}\)
a, tính độ dài đoạn thẳng BN
b, chứng minh BC= \(\sqrt{2}\) \(\times\) BN
cho tam giác ABC hai đường trung tuyến AM,BN vuông góc với nhau tại G biết AB=a ,BC =b ,AC =C .cm a^2 +b^2 =5c^2
Cho tam giác ABC , hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G. Biết CA = 3cm, CB = 4cm, tính độ dài AB.
Đây nè tự vẽ tự diễn nha
Vì AM VÀ BN LÀ 2 ĐG TRUNG TUYẾN
=> AN = 1/2 AC = 1/2 . 3 = 3/2
=> BM = 1/2 AB = 1/2 . 4 = 2
ĐẶT GN = X => GB = 2X ( TÍNH CHẤT TRỌNG TÂM)
GM = Y => GA = 2Y ( .....)
TAM GIÁC ANG VUÔNG TẠI N , THEO PYTAGO
GN^2 + GA^2 = AN^2
=> X^2 + (2Y)^2 = (3/2) ^2
=> X^2 + 4Y^2 = 9/4 (1)
tAM GIÁC GBM VUÔNG TẠI G THEO PY TA GO:
GM^2 + GB^2 = MB^2
=> Y^2+ ( 2X)^2 = 2^2
=> Y^2 + 4X^2 = 4
=> 4( Y^2 + 4X^2 ) = 4.4
=> 4Y^ 2 + 16X^2 = 16 (2)
lấY (2) - (1) TA CÓ 4Y^2 + 16 X^2 - X^2 - 4Y^2 = 16 -9/4
=> 15 X^2 = 55/4
=> X^2 = 11/12
TA CÓ X^2 + 4 Y^2 = 9/4 <=> 11/12 + 4 .Y^2 = 9/4 => 4Y^2 = 9/4 -11/2 =>4Y ^2 = 4/3 => Y^2 = 1/3
tAM GIÁC GAB VUÔNG TẠI g , THEO PY TA GO
(GA)^2 + (GB)^2 = AB^2
=> (2X)^2 + (2Y)^2 = AB^2
=>4X^2 + 4Y^2 = AB^2
=> 4( X^2 + Y^2 ) = AB^2
=> 4 ( 11/12 + 1 / 3) =AB^2
=> 4.5/4 = AB^2
=> AB^2 = 5
=> AB = CĂN 5
Bài 7 : Cho tam giác ABC cân tại A ,AB = 34cm BC = 32cm và 3 trung tuyến AM , BN CP đồng quytại trung tâm G
A) chứng minh AM ^ BC
b) Tính đọ dài AM BN CP . ( làm tròn kết quả đến số thập phân thứ 2 )
bài 8 : cho tam giác ABC có 2 trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G . Chứng minh BC^2 + CA ^2 = 5AB^2
Mình cần gấp các bạn làm nhanh giúp mình ^^
Minh cảm ơn
Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau, biết BC= 6cm. Tính BN