Ta thấy \(a.a\) \(không\) \(bằng\) \(2\)

⇒ Không số nào có bình phương bằng 2

⇒ Không tồn tại số hửa tỉ x thoả mãn x²=2

⇒ (đpcm)

Không mất tính tổng quát giả sử rằng \(\left|x\right|\ge\left|y\right|\Rightarrow x^2\ge y^2\)

\(\frac{1}{7}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\le\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{2}{y^2}\Rightarrow y^2\le14\Rightarrow\left|y\right|\le3\)

Mặt khác áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:

\(=\frac{1}{7}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{4}{x^2+y^2}\Rightarrow x^2+y^2\ge28\Rightarrow x^2\ge14\Rightarrow\left|x\right|\ge3\)

Bạn thay y={1;2;3;-1;-2;-3} vào rùi tìm x nhá cái BĐT kia làm màu cho đẹp thui :3

\(x^4-x^3+2x^2-x+1=0\)

\(\Rightarrow\left(x^4-x^3+x^2\right)+\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow x^2\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)=0\)

Mà \(\hept{\begin{cases}x^2+1>0\forall x\\x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\end{cases}\Rightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)>0\forall x}\)

Vậy ko tồn tại x thỏa mãn \(x^4-x^3+2x^2-x+1=0\)

\(x^4-x^3+2x^2-x+1=x^4-x^3+x^2+x^2-x+1\)

\(=x^2.\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\left(x^2+1\right).\left(x^2-x+1\right)\)

vì (x²+1) \(\ge1\)

và \(x^2\ge x\Rightarrow x^2-x+1\ge1\)

=> \(\left(x^2+1\right).\left(x^2-x+1\right)\ge1\Rightarrowđpcm\)

đoạn này t sai r :(

\(x^2-x+1=x^2-\frac{2x.1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

=> \(\left(x^2+1\right).\left(x^2-x+1\right)\ge\frac{3}{4}\)=> đpcm