Ta biến đổi phương trình thành:
\(\left(x^4+2x^2+1\right)-\left(x^3+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2-x\left(x^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2+1-x\right)=0\)
Với mọi \(x\in R\)ta có \(x^2+1>0\)
và \(x^2-x+1=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
Cả 2 nhân tử ở vế trái đều dương nên tích không thể bằng 0. Hay không tồn tại x thỏa mãn đề bài.
x4-x3+2x2-x+1=0 (1)
<=>x4-x3+x2+x2-x+1=0
<=>x2(x2-x+1)+x2-x+1=0
<=>(x2+1)(x2-x+1)=0
<=>x2+1=0 hoặc x2-x+1=0
Với x2+1=0.Ta thấy x2+1>0 với mọi x ->vô nghiệmVới x2-x+1=0.Ta xét VT\(x^2-x+1\)
\(=x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=x^2-\frac{x}{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=x\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\)
\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)với mọi x ->vô nghiệm
Vậy (1) không tồn tại x thỏa mãn
Nhận thấy rằng x = 0 không thoả mãn nghiệm của phương trình. Ta chia hai vế của phương trình cho \(x^2\ne0\)được :
\(x^2-x+2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)+2\)(1)
Đặt \(t=x+\frac{1}{x}\) \(\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2\)
Phương trình (1) trở thành : \(\left(t^2-2\right)-t+2=0\Leftrightarrow t^2-t=0\Leftrightarrow t\left(t-1\right)=0\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=0\\t=1\end{cases}}\)
1. Với t = 0 , ta có phương trình \(x+\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow x^2+1=0\) (Loại vì ta luôn có \(x^2+1>0\))
2. Với t = 1 , ta có phương trình : \(x+\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x^2-x+1=0\Leftrightarrow2x^2-2x+2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+x^2+1=0\)
(Loại vì \(\left(x-1\right)^2+x^2+1>0\) - dấu đẳng thức không xảy ra)
Cả hai trường hợp đều không có nghiệm , vậy kết luận phương trình vô nghiệm.
