ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔABD vuông tại A có AK là đường cao

nên \(BK\cdot BD=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BC=BK\cdot BD\)

=>\(\dfrac{BH}{BD}=\dfrac{BK}{BC}\)

Xét ΔBHK và ΔBDC có

\(\dfrac{BH}{BD}=\dfrac{BK}{BC}\)

\(\widehat{HBK}\) chung

Do đó: ΔBHK đồng dạng với ΔBDC

a) Do tam giác ABC vuông tại A 

=> Theo định lý py-ta-go ta có

BC^2=AB^2+AC^2

=>BC=\(\sqrt{AB^2+AC^2}\)= \(\sqrt{9^2+12^2}\)=\(\sqrt{225}\)=15

Vậy cạnh BC dài 15 cm

b)Xét Tam giác ABE vuông tại A và tam giác DBE vuông tại D có

BE là cạnh chung

AB=BD(Giả thiết)

=>Tam giác ABE=Tam giác DBE(CGV-CH)

Bài giải:

a, Xét △ABC vuông tại A có: BC² = AB² + AC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 => BC = 15 (cm)

b, Xét △ABE vuông tại A và △DBE vuông tại D

Có: AB = BD (gt)

    BE là cạnh chung

=> △ABE = △DBE (ch-cgv)

=> ABE = DBE (2 góc tương ứng)

Mà BE nằm giữa BA, BD

=> BE là phân giác ABD

Hay BE là phân giác ABC

c, Vì △ABE = △DBE (cmt)

=> AEB = DEB (2 góc tương ứng)

Vì DK ⊥ BC (gt)

    AH ⊥ BC (gt)

=> DK // AH (từ vuông góc đến song song)

=> AME = MED (2 góc so le trong)

Mà MED = MEA (cmt)

=> AME = MEA 

=> △AME cân

Xét ΔBMN và ΔCMA có

góc BMN=góc AMC

góc MNB=góc MAC

=>ΔBMN đồng dạng với ΔCMA

Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)

Câu a

Xét tam giác ABD và AMD có

AB = AM từ gt

Góc BAD = MAD vì AD phân giác BAM

AD chung

=> 2 tam guacs bằng nhau

Câu b

Ta có: Góc EMD bằng CMD vì góc ABD bằng AMD

Bd = bm vì 2 tam giác ở câu a bằng nhau

Góc BDE bằng MDC đối đỉnh

=> 2 tam giác bằng nhau

Câu 4: 

a: Xét ΔABD vuông tại B và ΔAED vuông tại E có

AD chung

góc BAD=góc EAD

Do đó: ΔBAD=ΔEAD
b: Ta có: AB=AE

DB=DE

Do đó: AD là đường trung trực của BE

c: Xét ΔBDF vuông tại B và ΔEDC vuông tại E có

DB=DE

góc BDF=góc EDC

Do đó: ΔBDF=ΔEDC

Suy ra: BF=EC

a: Xét tứ giác AMDN có góc AMD=góc AND=góc MAN=90 độ

nên AMDN là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác NKIM có

D là trung điểm của NI

D là trung điểm của KM

Do đó: NKIM là hình bình hành

mà NI vuông góc với KM

nên NKIM là hình thoi

c: Xét ΔABC có DN//AB

nên DN/AB=CN/CA=CD/CB

=>CN=1/2CA
hay N là trung điểm của AC

Xét ΔABC có DM//AC
nên BM/BA=BD/BC=1/2

hay BM=1/2BA
=>M là trung điểm của AB

Ta có: ΔAHB vuông tại H 

mà HM là đường trung tuyến

nên MA=MH

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HN là đừog trung tuyến

nên HN=AN

Xét ΔMAN và ΔMHN có

MA=MH

AN=HN

MN chung

Do đó: ΔMAN=ΔMHN

Suy ra:góc MHN=90 độ