a) HS tự chứng minh

b) Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác và chú ý  B ^ = D ^

Hạ CH vuông góc với OB tại H. Theo quan hệ đường xiên hình chiếu: 

\(CH\le OC\Leftrightarrow CH.OB\le OC.OB\Leftrightarrow2.S_{BOC}\le OC.OB\)(Do \(S_{BOC}=\frac{CH.OB}{2}\))

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \(OC.OB\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\)

\(\Rightarrow2.S_{BOC}\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\left(1\right)\). Chứng minh tương tự ta được:

\(2.S_{AOB}\le\frac{OA^2+OB^2}{2}\left(2\right);2.S_{DOC}\le\frac{OD^2+OC^2}{2}\left(3\right);2.S_{AOD}\le\frac{OA^2+OD^2}{2}\left(4\right)\)

Cộng (1); (2); (3) và (4) theo vế: 

\(2.\left(S_{BOC}+S_{AOB}+S_{DOC}+S_{AOD}\right)\le\frac{2.\left(OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow2S\le OA^2+OB^2+OC^2+OD^2\)=> ĐPCM.

 \(2.S_{BOC}\le OC.OB\). Dấu "=" xảy ra <=> OC vuông góc với OB

 \(OC.OB\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> OC=OB

Suy ra \(2.S_{BOC}\le\frac{OC^2+OB^2}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> \(\Delta\)BOC vuông cân tại O

Tương tự với các tam giác AOB; AOD; DOC.

Vậy dấu "=" xảy ra <=> Tứ giác ABCD là hình vuông và O là tâm của hình vuông này.

a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1) b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c a+b+c=x-y-z+z-x=o đưa về như bài b d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y) =x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)

 a,  Xét \(\Delta\) AOB có: AO+OB > AB (trong tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại)

Tương tự ta có:  OC + OD > DC

                           OA + OD > AD

                           OB + OC > BC 

Cộng vế với vế ta có:

OA+OB+OC+OD+OA+OD+OB+OC > AB +DC+AD+BC

(OA+OC)\(\times\)2 + (OB + OD)\(\times\)2 >  P_ABCD

AC \(\times\) 2 + BD \(\times\) 2 > P_ABCD

AC + BD > \(\dfrac{P_{ABCD}}{2}\) (đpcm)

b, Xét \(\Delta\) ABD có: AB + AD > BD (trong tam giác tổng hai cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại)

Tương tự ta có:   AD + DC > AC 

                            DC + CB > DB 

                            CB + AB > AC 

  Cộng vế với vế ta có: 

AB+AD+AD+DC+DC+CB+CB+AB >BD+ AC+DB+AC

2AB+2BC+2CD+2AD> 2AC + 2BD 

2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD)

    AB + BC + CD + AD > AC + BD

       P_ABCD > AC + BD (đpcm)

 

 

 

 

 

 

 

                           

                 

dùng bất đẳng thức cauchy

a: Xét ΔABD có

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: MQ//BD và \(MQ=\dfrac{BD}{2}\)(1)

Xét ΔBCD có

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

Do đó: NP là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: NP//BD và \(NP=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

hay MQPN là hình bình hành

b) ✱Xét Δ ABD có :
 AM = BM  ( gt )
AQ = DQ ( gt ) 
⇒ QM là đg trung bình của Δ ABD 
⇒ MQ = 1/2 BD
✱Xét Δ BDC có :
BN = CN ( gt )
DP = PC ( gt )
⇒ NP là đg trung bình Δ BDC 
⇒ NP = 1/2 BD
Ta có :
 Chu vi tg MNPQ là:
MN + NP + PQ + QM ⇔ 1/2 AC + 1/2 BD + 1/2 AC + 1/2 BD 
⇔ MN + NP + PQ + QM = AC + BD
Mà AC và BD là đg chéo của tg ABCD 
⇒ Chu vi tg MNPQ = tổng 2 đg chéo tg ABCD 
Đó , m ghi vô ii ko mai thầy chửi sấp mặt đấy !

a: Xét ΔABD có AM/AB=AQ/AD

nên MQ//BD và MQ=BD/2

Xét ΔCBD có CN/CB=CP/CD

nên NP//BD và NP=BD/2

=>MQ//NP và MQ=NP

=>MNPQ là hình bình hành

b: Để mNPQ là hình chữ nhật thì MN vuông góc với MQ

=>AC vuông góc với BD

Để MNPQ là hình thoi thì MN=MQ

=>AC=BD

c: BD=3/2*AC=30cm

=>MQ=BD/2=15cm; MN=AC/2=10cm

SMNPQ=15*10=150cm²

Đáp án C